https://necromongers.userforum.ru/ Форум клана Neckromongers ru-ru Sun, 22 Oct 2023 02:01:41 +0300 MyBB/mybb.ru https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=35#p35 <p>Профессиональные услуги клининга: уборка после ремонта, генеральная, поддерживающая, химчистка мягкой мебели, удаление жировых отложений на кухне парогенератором, мытье окон + альпинист и многое другое. Мы также предлагаем ЭКО-чистку детских игрушек, колясок, комнат и различных предметов.&#160; Заказ по тел. +7 915 204 1047 Наш канал: t.me/wwcleaning Москва и Московская область Услуги клининга офиса, квартиры: грязь, пыль, разводы, зеркала, плитка, цемент, краска, светильники, люстры, свч, холодильник, духовка, плита, варочная панель, вытяжка, розетки, выключатели, керамика, смесители, скотч, мусор, шкафы, сантехника, плинтуса, фартук, столешница, стирка, глажка, пятна, загрязнения, диван, кровать &#9989;Уборка квартиры после ремонта &#9989;Уборка после ремонта цена&#160; &#9989;Уборка после ремонта москва&#160; &#9989;Уборка квартиры после ремонта цена&#160; &#9989;Уборка помещений после ремонта&#160; &#9989;Услуги клининга цены&#160; &#9989;Клининг компания услуги&#160; &#9989;Услуги клининга офиса&#160; &#9989;Химчистка мягкой мебели москва&#160; &#9989;Химчистка мягкой мебели +на дому&#160; &#9989;Химчистка мягкой мебели +и ковров&#160; &#9989;Мытье окон +в москве&#160; &#9989;Мытье окон без разводов&#160; &#9989;Клининг компания услуги&#160; &#9989;ЭКО чистка детских кресел&#160; &#9989;Экологическая очистка детских комнат&#160; &#9989;Услуги клининга квартир&#160; Заказ по тел. +7 915 204 1047 Наш канал: <a href="https://t.me/wwcleaning" rel="nofollow" target="_blank">https://t.me/wwcleaning</a>&#160; &#160;Вотсап: <a href="https://wa.me/79152041047" rel="nofollow" target="_blank">https://wa.me/79152041047</a>&#160; Перейти: <a href="https://is.gd/tDRpVO" rel="nofollow" target="_blank">https://is.gd/tDRpVO</a></p> mybb@mybb.ru (rcsvscfzvb) Sun, 22 Oct 2023 02:01:41 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=35#p35 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=34#p34 <p>Авторский проект/выставка победителя Молодёжного проектного форума Южного федерального округа «СЕЛИАС-20211» Михаила Леоненко. «Проект – 1922. Выставка к столетию окончания Гражданской войны в России»* Выставка представляет собой шесть плакатов уникального дизайна в газетной стилистике эпохи (разворот газеты – 2 полосы). Плакаты содержат концентрированную информацию о людях, событиях, датах и фронтовой статистике Гражданской войны. Скачать плакаты <a href="https://cloud.mail.ru/public/65tx/LmvWpRrGR" rel="nofollow" target="_blank">https://cloud.mail.ru/public/65tx/LmvWpRrGR</a>&#160; Видео проекта <a href="https://vk.com/wall-210226703_77" rel="nofollow" target="_blank">https://vk.com/wall-210226703_77</a></p> mybb@mybb.ru (rcsvscfzvb) Fri, 09 Dec 2022 01:48:44 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=34#p34 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=33#p33 <p><a href="http://www.ekafisha.ru/mesta/45/" rel="nofollow" target="_blank">http://www.ekafisha.ru/mesta/45/</a></p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Mon, 15 Aug 2011 10:12:39 +0400 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=33#p33 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=31#p31 <p>3 ЛИСТ СТЕКЛА ЧЕЛОВЕК С ПРЕКРАСНЫМ ХАРАКТЕРОМ СКРЫТЫЕ СЛОВА<br />За день до высадки на Давин Локен отправился в третий зал Архива на поиски Кирилла Зиндерманна, чтобы вернуть взятую у него книгу. Он бродил па переходам между пыльных стеллажей и кип пожелтевших пергаментов при тусклом свете круглых фонарей, едва не задевая за них головой, и его шаги гулко отдавались в торжественной тишине хранилища. То здесь, то там взгляд натыкался на ссутулившиеся фигуры ученых в креслах с высокими спинками, но его бывшего наставника среди них не было.<br />Локен свернул в другой непомерно высокий проход между полок с манускриптами и переплетенными в кожу томами с названиями вроде «Церковные гимны всеастральной веры», «Размышления Грустного Героя» или «Думы и воспоминания Долгой Ночи». Ни один из заголовков не был знаком Локену, и он уже отчаялся разыскать Зиндерманна в этом таинственном лабиринте, как вдруг заметил знакомую фигуру, склонившуюся над длинным столом, заваленным вынутыми из футляров свитками и стопками книг.<br />Зиндерманн стоял к нему спиной и был так поглощен чтением, что не услышал приближения Локена.<br />– Еще один образец плохой поэзии? – издалека спросил Локен.<br />Зиндерманн подпрыгнул и оглянулся через плечо с тем же удивленным и испуганным выражением лица, как и в тот раз, когда Локен впервые отыскал его в Архиве.<br />– Гарвель,– произнес Зиндерманн, и в его голосе Локену почудилась нотка облегчения.<br />– А вы ожидали кого-то другого?<br />– Нет. Совсем нет. Я редко вижу кого бы то ни было в этой части хранилища. Для большинства серьезных ученых здесь нет ничего ценного.<br />Локен обошел вокруг стола и окинул взглядом лежащие перед итератором бумаги – перевязанные кожаными шнурками ветхие свитки, неразборчивый почерк, желтоватые гравюры, изображающие чудовищ и людей, объятых пламенем. Он бросил быстрый взгляд на Зиндерманна; ученый при виде такого любопытства беспокойно прикусил нижнюю губу.<br />– Должен признаться, мне все больше нравятся древние тексты, – пояснил Зиндерманн. – Вроде «Хроник Урша», которые я давал тебе почитать. Такое сильное, хотя и жестокое произведение. Оно очень наивное, содержит массу преувеличений, но довольно захватывающее.<br />– Я прочитал «Хроники Урша», Кирилл, – сказал Локен, кладя книгу перед Зиндерманном.<br />– И что?<br />– Как вы и говорите, в них много жестокости и наивности, а порой и откровенные полеты фантазии…<br />– Но?<br />– Но я не могу избавиться от мысли, что, давая мне этот томик, вы имели какое-то скрытое намерение.<br />– Скрытое намерение? Нет, Гарвель, уверяю тебя, в этом не было никаких уловок, – возразил Зиндерманн, но Локен не поверил ему.<br />– В самом деле? Там есть необыкновенно правдивые отрывки.<br />– Да ну, Гарвель, не может быть, чтобы ты воспринял это всерьез, – насмешливо заметил Зиндерманн.<br />– Осада монастыря, – напомнил ему Локен. – Последняя битва Анулта Кейзера с конклавом Нордафрика.<br />– И что там такого интересного? – после некоторой заминки спросил Зиндерманн.<br />– Я по вашим глазам вижу, что вы знаете, о чем я говорю.<br />– Нет, Гарвель, я не знаю. Я помню тот отрывок, и, несмотря на захватывающий сюжет, я не могу представить себе, что ты воспринимаешь эту прозу как исторический источник.<br />– Я согласен, – кивнул Локен, – все эти описания рвущихся, словно шелк, небес и рассыпающихся гор – сплошная чепуха, но там же говорится о человеке, который обратился в демона и поднял руку на своих товарищей.<br />– А, да… Теперь понимаю. Ты считаешь, что это имеет какое-то отношение к происшествию с Ксавье Джубалом?<br />– А вы? – спросил Локен и приподнял за уголок один из пожелтевших от времени пергаментов, показывая Зиндерманну изображение демона с длинными клыками, поросшего шерстью, с загнутыми козлиными рогами на лбу и окровавленным топором в когтистых лапах. – Джубал превратился в демона и пытался меня убить! В точности то же самое произошло с Анултом Кейзером. Один из его офицеров, человек по имени Вилхим Мардол, стал демоном и убил его. Вам это ничего не напоминает?<br />Зиндерманн откинулся на спинку кресла и прикрыл глаза. Только теперь Локен заметил, каким усталым выглядит итератор, как пожелтела кожа лица, став похожей на его любимые пергаменты, как обвисла одежда, словно наброшенная на голый скелет…<br />Локен осознал, что могущественный итератор находится на грани полного истощения.<br />– Простите меня, Кирилл, – произнес он, присаживаясь на соседний стул. – Я шел сюда не затем, чтобы с вами спорить.<br />Зиндерманн улыбнулся, и Локен вспомнил, как сильно он надеялся получить мудрый совет. Хотя итератор и не был его официальным учителем, но все равно оставался наставником и инструктором, и обнаружить, что Зиндерманн не знает всех ответов, было шоком.<br />– Все в порядке, Гарвель. Это хорошо, что у тебя появляются вопросы. Значит, ты учишься искать правду там, где с первого взгляда мы ее не замечаем. Я уверен, Воитель по достоинству ценит эту способность. Как поживает командующий?<br />– Он устал,– признал Локен.– Крики тех, кто требует его внимания, с каждым днем становятся все громче и настойчивее. Сообщения с каждой из флотилий Великого Похода буквально рвут его на части, а чиновники Совета Терры со своими оскорбительными инструкциями пытаются превратить его из Воителя в простого администратора. Он несет огромную ношу, Кирилл, однако не надейтесь так легко сменить тему разговора.<br />Зиндерманн рассмеялся:<br />– Гарвель, ты становишься слишком быстрым для меня. Ну хорошо. Что ты хотел узнать?<br />– Люди из книги, которые применяли магические силы, были ли они колдунами?<br />– Я не знаю, – признался Зиндерманн. – Но это вполне возможно. Те силы, которыми они воспользовались, никак нельзя считать естественными.<br />– Но как могли их предводители дать разрешение на применение этих сил? Неужели они не знали, насколько это опасно?<br />– Возможно, знали. Но подумай о другом: мы и сами знаем очень мало, но нас ведут вперед мудрость Императора и научные достижения. А древние жители? Они ведь знали гораздо меньше нас.<br />– Но даже варварам должно быть известно, насколько опасны подобные вещи, – настаивал Локен.<br />– Варварам? – переспросил Зиндерманн. – Это слишком уничижительное определение, друг мой. Не суди столь поспешно, мы не так уж сильно отличаемся от племен Старой Земли, как ты можешь подумать.<br />– Нет, вы, вероятно, шутите! – воскликнул Локен. – Мы так же не похожи на них, как звезда не похожа на планету.<br />– Ты уверен, Локен? Ты считаешь, что стена, отделяющая цивилизацию от варварства, прочна, словно сталь? Но это не так. Могу тебя заверить, что эта грань весьма тонкая и хрупкая, словно лист стекла. Достаточно толчка или сотрясения, и мы можем снова оказаться во власти языческих предрассудков, станем бояться темноты и поклоняться непонятным существам в гулких храмах.<br />– Вы преувеличиваете.<br />– Разве? – запальчиво спросил Зиндерманн, наклоняясь вперед. – Представь себе, что обновленный, приведенный к Согласию мир испытывает нехватку жизненно важных ресурсов, таких, как топливо, вода или пища. Сколько, по-твоему, времени потребуется, чтобы цивилизованное поведение сменилось варварскими методами? Как скоро человеческий эгоизм подтолкнет к овладению оставшимися источниками любой ценой, невзирая на вред, нанесенный остальным, или даже сговор с силами зла? Будут ли отдельные группы отгонять своих собратьев и даже уничтожать их, лишь бы завладеть ресурсами? Понятия порядочности и гражданской справедливости не больше чем тонкий налет на поверхности звериного облика человека, который при каждом удобном случае вырывается наружу.<br />– Ваши слова не оставляют нам никакой надежды.<br />– Нет, Гарвель, все совсем не так,– сказал Зиндерманн, покачивая головой.– Человечество пока бессильно измениться, но я твердо верю, что благодаря великим трудам Императора наступит время, когда мы поднимемся к вершинам сознания и овладеем всеми окружающими нас силами. Прошедшее после возникновения цивилизации время – всего лишь небольшой отрезок нашего существования, тем более по сравнению с грядущими веками. Воля Императора, братское общество, всеобщее равенство в правах и привилегиях и хорошее образование – вот предпосылки высшего общественного строя, к которому ведут нас разум, науки и наш опыт. Это будет новое возрожденное общество свободы, равенства и братства древних народов человеческой расы, которому не страшны диктаторы вроде Калаганна или Нартана Дума.<br />Локен не удержался от улыбки.<br />– А мне было показалось, что вы впали в отчаяние.<br />Зиндерманн тоже улыбнулся в ответ.<br />– Нет, Гарвель, я далек от этого. Признаюсь, происшествие в Шепчущих Вершинах сильно потрясло меня, но чем больше я читаю, тем отчетливее вижу, как далеко мы ушли и как близки к тому, о чем всегда мечтали. Каждый день я испытываю благодарность за то, что свет Императора ведет нас в золотое будущее. Страшно подумать, что может произойти, если этот источник иссякнет.<br />– Не беспокойтесь, – заверил его Локен, – такого никогда не случится.</p> <p>Аксиманд взглянул на прибывших через прорезь в сетке.<br />– Приехал Эреб, – доложил он.<br />Хорус кивнул и встал лицом к четверым членам Морниваля.<br />– Все знают, что надо делать?<br />– Нет, – отозвался Торгаддон. – Мы так давно остаемся в стороне, что всё позабыли. Почему бы вам не напомнить?<br />От такого легкомысленного заявления Тарика глаза Хоруса потемнели.<br />– Хватит, Тарик, – сказал он. – Это не подходящее время для шуток, так что придержи язык.<br />Столь резкий отпор Воителя шокировал Торгаддона, и он быстрым взглядом окинул лица своих товарищей. Локен не испытывал такого потрясения, поскольку за несколько недель после отбытия с планеты интерексов не раз был свидетелем взрывов гнева главнокомандующего по отношению к подчиненным. С тех пор как на площади перед Залом Оружия на Ксенобии пролилась кровь, Воитель не знал ни минуты покоя. Горечь неудачи при попытке воссоединения с интерексами до сих пор преследовала Хоруса.<br />После фиаско с интерексами Воитель впал в состояние унылой меланхолии и все чаще уединялся в своих личных покоях, куда допускался только Эреб. После возвращения на имперскую флотилию члены морнивальского братства почти не видели своего командира, и все четверо остро переживали необъяснимое отчуждение.<br />Раньше Воитель прислушивался к их советам, теперь его слух был обращен только к Эребу.<br />Известие о том, что Эреб со своим Легионом покинет экспедицию и отправится на Давин, все морнивальцы восприняли с чувством облегчения.<br />Но даже по дороге к системе Давина Воитель не знал отдыха. Со всех концов Галактики – от братьев примархов, от командующих имперскими армиями и, что тяжелее всего, от армий чиновников, идущих по пятам завоевателей, – поступали непрекращающиеся требования помощи.<br />Ежедневно группы экзекторов под управлением администратора Аэнид Ратбон осаждали Воителя требованиями оказать содействие в сборе имперской дани со всех приведенных к Согласию миров. Любой, у кого имелась хоть капля здравого смысла, понимал, что такие мероприятия преждевременны, и Хорус сделал все, что было в его силах, чтобы остановить Ратбон и ее экзекторов, но его усилия лишь ненадолго замедлили их.<br />– Если бы я мог, – сказал Хорус как-то вечером, когда они с Локеном обсуждали новые способы получения податей с приведенных к Согласию миров, – я бы убил всех экзекторов Империума. Но я уверен, на следующий день, еще до завтрака, мы получили бы счета из преисподней.<br />Локен рассмеялся, но тотчас осознал, что Воитель говорит серьезно, и смех застрял у него в горле.<br />После прибытия на Давин навалились еще более срочные дела.<br />– Не забудьте, – сказал Хорус,– все должно пройти точно так, как я говорил.</p> <p>При появлении в дверях юрты избранного наместника Императора в помещении воцарилась благоговейная тишина, и все присутствующие опустились на одно колено. От взгляда на живого бога, появившегося в сверкающих доспехах цвета далекого океана и в царственно-пурпурном плаще, у Каркази закружилась голова. С нагрудника Хоруса сияло Око Терры, и Каркази не мог устоять перед величественной красотой Воителя.<br />Провести столько дней в экспедиции и только сейчас увидеть Воителя! Сколько времени потрачено впустую! Каркази ощутил острое желание вырвать все исписанные страницы из любимого блокнота «Бондсман № 7» и сочинить эпический монолог о величии главнокомандующего.<br />За Воителем вошли четверо морнивальцев, а с ними высокая величавая женщина в пурпурном бархатном платье с высоким воротом и пышными рукавами. Ее длинные волосы были уложены в высокую замысловатую прическу. Каркази с негодованием узнал в ней Петронеллу Вивар, летописца с Терры, о которой уже был достаточно наслышан.<br />Хорус в приветственном жесте поднял руки.<br />– Друзья, – произнес он, – я уже не раз говорил, что никто в моем присутствии не должен преклонять колени. Такой чести достоин один лишь Император.<br />Медленно, словно не желая нарушать благоговейный восторг, люди стали подниматься, а Хорус пошел вперед, пожимая руки тем, кто стоял в первых рядах, и очаровывая их своим благодушием и неожиданными шутками. Каркази видел тех, к кому обращался Воитель, и оттого, что он не удостоился подобной чести, в груди поднялось острое чувство ревности.<br />Совершенно не задумываясь, он начал проталкиваться вперед сквозь толпу, не обращая внимания на недоброжелательные взгляды и нередкие удары локтями в бока. Внезапно ворот одежды стал ему тесен, и Каркази обернулся, намереваясь резко осадить всякого, кто осмелился так вольно обращаться с его роскошным одеянием. Позади он обнаружил Эуфратию Киилер и в первый момент решил, что это она старается оттащить его назад, но, увидев ее лицо, улыбнулся – Киилер следовала за ним по пятам и воспользовалась его массивной фигурой в качестве буксира.<br />Каркази добрался до группы из шести или семи человек, стоящих в первом ряду, как вдруг вспомнил, ради чего его пригласили на такое важное мероприятие. Он оторвал взгляд от Воителя и посмотрел на Эреба из Легиона Несущих Слово.<br />О Семнадцатом Легионе Каркази не знал почти ничего, за исключением того факта, что его примарх, Лоргар, пользовался любовью и доверием своего брата Хоруса. Оба Легиона не раз сражались и проливали кровь во славу Империума в одних и тех же боях. Члены братства Морниваль шагнули вперед и один за другим обнимали Эреба, словно обретенного после долгой разлуки брата. Они смеялись и дружески хлопали друг друга по наплечникам доспехов, но в приветствии Локена Каркази уловил некоторую сдержанность.<br />– Сосредоточься, Игнаций, сосредоточься, – прошептал он самому себе, обнаружив, что снова уставился на Воителя.<br />Он отвел взгляд от Хоруса как раз вовремя, чтобы заметить, как Эреб и Абаддон в очередной раз пожимают друг другу руки и между их ладонями что-то блеснуло. Все произошло очень быстро, и Каркази не был полностью уверен, но ему показалось, что один передал другому то ли монету, то ли какой-то медальон.<br />Затем морнивальцы и Вивар отошли немного назад и встали за спиной Воителя, а Малогарст занял свое место рядом с ним. Хорус снова поднял руки.<br />– Друзья мои, вам снова придется потерпеть мое присутствие, поскольку мы собрались обсудить дальнейшие планы того, как нести свет истины в темные миры.<br />Вежливый смех и аплодисменты прокатились по юрте, а Воитель продолжал свою речь:<br />– Мы снова вернулись на Давин, место, где была одержана грандиозная победа. Это восьмой мир, приведенный нами к Согласию, и он поистине…<br />– Воитель, – раздался вдруг голос из центра юрты.<br />Оклик прозвучал совершенно спокойно, но люди единодушным вздохом отметили неслыханное по дерзости нарушение этикета.<br />Каркази заметил, как потемнело лицо Воителя, и понял, что Хорус не привык, чтобы его прерывали. Затем Игнаций переключил внимание на нарушителя.<br />Толпа слушателей отхлынула от Эреба, словно в страхе, что его безрассудство может оказаться заразным.<br />– Эреб, – заговорил Малогарст, – у тебя, по-видимому, есть что сказать.<br />– Небольшая поправка, советник, – пояснил Несущий Слово.<br />Каркази заметил и беспокойный взгляд, брошенный Малогарстом в сторону Воителя.<br />– Поправка, ты говоришь? И что ты хочешь исправить?<br />– Воитель сказал, что этот мир приведен к Согласию, – ответил Эреб.<br />– Давин принял условия Согласия, – раздраженно проворчал Хорус.<br />Эреб печально покачал головой, но Каркази заметил на его лице мрачное предвкушение, словно он был рад сделать следующее заявление.<br />– Нет, – сказал Эреб. – Давин не принял Согласия.</p> <p>При таком посягательстве на честь экспедиции Локен ощутил прилив ярости, а напряженные спины его товарищей по Морнивалю показали, что и друзья испытывают те же чувства. Аксиманд зашел так далеко, что схватился за оружие, но Торгаддон покачал головой, и Маленький Хорус отвел пальцы от рукояти меча.<br />Даже за короткое время знакомства с Эребом Локен успел убедиться, с каким уважением и почтением относились окружающие к уравновешенному и рассудительному капеллану Несущих Слово. Он часто давал мудрые советы и обладал легким характером, а его вера в Воителя казалась безграничной, но незаметно возникшая близость между ним и Хорусом вызвала у Локена недовольство, которое нельзя было объяснить простой ревностью. С тех пор как Воитель начал прислушиваться к советам Эреба, он стал угрюмым, излишне раздражительным и замкнутым. Даже Малогарст не раз высказывал морнивальцам свою обеспокоенность растущим влиянием Несущего Слово на Воителя.<br />После разговора с Эребом на обзорной палубе «Духа мщения» Локен понял, что Первый капеллан не так прост, как могло показаться с первого взгляда. В его душу еще тогда были заронены семена подозрения, и сегодняшние слова Эреба оказались для них свежим весенним дождем.<br />Локен с трудом мог представить себе, чтобы Эреб, заслуживший такое уважение после событий на Ксенобии, мог вести себя так грубо и бесцеремонно.<br />– А ты не мог бы выразить свою мысль более конкретно? – спросил Малогарст, с трудом сдерживая свой гнев.<br />– Я могу все объяснить, – ответил Эреб, – но, возможно, эту тему лучше обсудить в узком кругу?<br />– Эреб, если у тебя есть что сказать, говори сейчас. Это Военный Совет, и у нас не может быть секретов, – заявил Хорус.<br />Какую бы роль ни отвел Хорус морнивальцам, Локен понял, что теперь все это не имеет смысла. По лицам своих друзей он догадался, что они придерживаются того же мнения.<br />– Мой господин, – начал Эреб, – я должен извиниться…<br />– Оставь при себе свои извинения, Эреб, – прервал его Хорус. – У тебя хватило смелости сделать такое заявление после того, как я приблизил тебя к себе и предоставил место в Военном Совете. И ты посмел отплатить мне бесчестьем и оскорблением? Я сразу говорю тебе, что не потерплю такого отношения. Ты меня понимаешь?<br />– Да, мой господин, но в мои намерения не входило вас оскорбить. Если вы позволите мне продолжать, вы поймете, что в моих словах нет ничего обидного для вас.<br />В юрте ощутимо возросло напряжение, и Локен мысленно молил Хоруса прекратить этот фарс и удалиться в более уединенное место, но он понимал, что Воитель так разгневан, что предотвратить конфронтацию уже не удастся.<br />– Продолжай, – сквозь зубы бросил Хорус.<br />– Как вам известно, мой господин, мы покинули Давин шесть десятилетий назад. Мир был приведен к Согласию, и казалось, что вскоре он станет полноправной и просвещенной частью Империума. Как это ни печально, наши надежды не оправдались.<br />– Эреб, переходи к сути, – поторопил его Хорус, сжимая устрашающие кулаки.<br />– Да, конечно. По пути на Сардис, при встрече с Двести третьей экспедицией, уважаемый лорд Кор Фаэрон попросил меня зайти на Давин и еще раз убедиться, что Слово Императора, возлюбленного всеми, должным образом распространяется в этом мире командующим Тембой и оставленными с ним войсками.<br />– А где сейчас Темба? – спросил Хорус. – Я оставил ему достаточно солдат, чтобы подавить последние очаги сопротивления. И уж конечно, если бы этот мир нарушил условия Согласия, я бы об этом знал.<br />– Мой господин, Эуган Темба стал предателем, – заявил Эреб. – Он удалился на одну из лун Давина и больше не признает Императора своим господином и повелителем.<br />– Предатель?! – взревел Хорус. – Это невозможно! Эуган Темба обладал стойким характером и несокрушимым боевым духом. Я сам выбрал его для этой почетной роли. Он не мог стать предателем!<br />– К сожалению, это правда, мой господин, – с искренней печалью в голосе возразил Эреб.<br />– И что же он, во имя Императора, делает на этом спутнике? – спросил Хорус.<br />– Народы, населяющие сам Давин, сдержали свое слово и с готовностью приняли условия Согласия, чего нельзя сказать о племенах спутника, – объяснил Эреб. – Темба повел свою армию в славную, но, как оказалось, совершенно необдуманную экспедицию, чтобы образумить живущих там людей.<br />– Почему необдуманную? Это прямой долг любого из имперских командиров.<br />– Это был опрометчивый поступок, мой господин, поскольку племена со спутника не имеют того понятия чести, которое присуще нам, и, как мне кажется, когда Темба прибыл для переговоров, они применили… методы, которые извратили понятия наших людей и обратили их против вас.<br />– Методы? Выражайся понятнее, Эреб! – воскликнул Хорус.<br />– Я не могу дать точное определение, мой господин, но в древних текстах это описывается как… э-э-э… колдовство.<br />При упоминании о колдовстве в крови Локена вскипела ярость, а по всей юрте прошелестели недоверчивые восклицания.<br />– Теперь Темба в нарушение всех клятв и верности Императору служит повелителю луны Давина. А вас он называет не иначе как прихвостнем падшего божества.<br />Локен никогда не встречался с Эуганом Тембой, но при таком оскорблении величия Воителя ненависть комком подкатила к горлу. Все собравшиеся, видимо, ощутили те же эмоции, и юрта наполнилась негодующими криками.<br />– Он за это заплатит! – вскричал Хорус. – Я сам оторву ему голову, а тело скормлю воронам. Клянусь в этом своей честью!<br />– Мой господин, – продолжал Эреб, – мне жаль, что я принес такие дурные вести, но я уверен, решение этой проблемы стоит предоставить кому-то из доверенных лиц.<br />– Эреб, ты хочешь, чтобы я позволил кому-то другому отомстить за нанесенное мне оскорбление? – свирепо поинтересовался Хорус. – За кого же ты меня принимаешь? Я сам подписывал акт о приведении этого мира к Согласию, и будь я проклят, если завоеванный мною мир отколется от Империума! – Хорус обернулся к четверке морнивальцев: – Срочно подготовить штурмгруппу!<br />– Будет сделано, мой господин, – ответил Абаддон. – Кто ее возглавит?<br />– Я сам, – заявил Хорус.</p> <p>Военный Совет был отложен; все остальные дела и проблемы померкли перед таким ужасным известием. А когда командиры Шестьдесят третьей вернулись к своим подчиненным и слух о предательстве Эугана Тембы распространился повсюду, всю экспедицию мгновенно охватило лихорадочное возбуждение.<br />Отдавая срочные приказы о подготовке к экспедиции, Локен обнаружил Игнация Каркази в опустевшей после неудачного Военного Совета юрте. Летописец сидел над открытым блокнотом и что-то торопливо записывал, прерываясь лишь для того, чтобы заточить карандаш маленьким перочинным ножом.<br />– Игнаций, – окликнул его Локен.<br />Каркази поднял голову от работы, и Локен с удивлением прочитал на его лице выражение восторга.<br />– Ничего себе собрание, а? Военный Совет всегда проходит так драматично?<br />Локен покачал головой:<br />– Нет, обычно все обстоит иначе. А что ты пишешь?<br />– О, это будет небольшая поэма о подлости Тембы, – ответил Каркази. – Ничего особенного, нечто вроде внутреннего монолога. Мне кажется, учитывая общее настроение экспедиции, это будет весьма кстати.<br />– Да, наверно. Только я до сих пор не могу поверить, что кто-то может так охарактеризовать его поступок.<br />– И я тоже. Думаю, в этом-то и есть проблема.<br />– Что ты хочешь сказать?<br />– Я постараюсь объяснить, – сказал Каркази. Поднявшись со своего стула, он прошел в тот угол, где стояли подносы с нетронутой едой, и наполнил себе тарелку. – Мне запомнился один совет относительно поведения в присутствии Воителя. Кто-то сказал, что лучше всего смотреть на его ноги, а если встретишься с ним взглядом, то непременно забудешь все, что хотел сказать.<br />– Я тоже об этом слышал. Аксиманд как-то дал мне точь-в-точь такой совет.<br />– Что ж, совет очень хорош, но меня его появление застигло врасплох. Впервые увидев его величие, я почти забыл, зачем здесь нахожусь.<br />– Я не уверен, что понимаю тебя, – сказал Локен и мотнул головой, когда Каркази предложил ему мяса со своей тарелки.<br />– Я вот к чему веду. Можно ли представить, что тот, кто встречался с Хорусом – могу я называть его Хорусом? Я слышал, вам не очень нравится, когда простые смертные так его называют. Так вот, мог ли человек, действительно видевший его, сказать такие вещи, какие приписываются этому Тембе?<br />Локен не без труда поспевал за быстрой речью Каркази, но неожиданно он понял, что гнев заслонил от него величие Воителя.<br />– Ты прав, Игнаций. Никто, видевший Воителя, не мог такого сказать.<br />– Тогда возникает вопрос: зачем Эребу понадобилось приписывать Тембе такие оскорбления?<br />– Я не знаю. И зачем ему это?<br />Каркази съел мясо со своей тарелки и запил его белесым напитком.<br />– И правда зачем? – переспросил Каркази, загораясь воодушевлением. – Скажите, вы имели «удовольствие» встречаться с Аэлитой Хергиг? Она тоже летописец из числа драматургов и пишет ужасающе детализированные пьесы. На мой взгляд, они просто нудные, но я не могу отрицать, что у нее имеется определенный актерский талант. Я помню, видел в ее исполнении леди Офелию в «Трагедии Амлета», и это было довольно хорошо, хотя…<br />– Игнаций, – остановил его Локен, – переходи к сути.<br />– Ах да, конечно. Суть в том, что даже такая талантливая актриса, как мисс Хергиг, не справилась бы с представлением, разыгранным сегодня Эребом.<br />– Представлением?<br />– Точно так. Все, что он делал с самого момента появления в юрте, было фарсом. Разве вы этого не заметили?<br />– Нет, я был слишком зол,– признался Локен.– Вот почему я и позвал тебя сюда. А теперь, Игнаций, объясни мне все по порядку, только не отступай от темы.<br />Каркази расцвел от удовольствия и продолжал:<br />– Хорошо. Сразу после заявления об отступлении Давина от Согласия Эреб предложил перенести обсуждение вопроса в более узкий круг, но это провокационное предложение он сделал в помещении, полном народа. Кроме того, как вы слышали, он утверждал, что Темба восстал против Хоруса, а не против Императора. Это придало оскорблению личный характер.<br />– Но зачем ему понадобилось так провоцировать Воителя?<br />– Возможно, чтобы вывести его из равновесия, заставить проявить вспыльчивость. Похоже, он хорошо знал, какой будет реакция. Мне кажется, Эреб пытался привести Воителя в такое состояние, когда тот будет неспособен мыслить ясно.<br />– Осторожнее, Игнаций. Как ты осмеливаешься предполагать, что Воитель бывает неспособен ясно мыслить?<br />– Нет, нет, нет, – запротестовал Каркази. – Только приведя его в состояние крайнего возбуждения, Эреб мог манипулировать его поступками.<br />– Манипулировать? И с какой же целью?<br />Каркази пожал плечами:<br />– Это мне неизвестно. Но я точно знаю: Эреб очень хочет, чтобы Хорус отправился на спутник Давина.<br />– Но он пытался отговорить Воителя от личного участия в экспедиции. Он даже осмелился советовать переложить это дело на плечи других.<br />Каркази нетерпеливо тряхнул головой.<br />– Только для того, чтобы показать всем свое старание заставить Воителя изменить намерения. А на самом деле он прекрасно знал, что Хорус не сможет отступить от своего слова.<br />– И не отступит, летописец! – раздался звучный возглас от входа в юрту.<br />Каркази от неожиданности подпрыгнул, а Локен, обернувшись на голос, увидел Первого капитана Сынов Хоруса – сверкающего и грозного в полном боевом облачении.<br />– Эзекиль,– произнес Локен,– что ты тут делаешь?<br />– Ищу тебя, – ответил Абаддон. – Тебе надо быть со своей ротой. Сам Воитель возглавит штурм-группу, а ты тратишь время на болтовню с писаками, которые подвергают сомнению честное слово благородного Астартес.<br />– Первый капитан Абаддон, – выдохнул Каркази, склоняя голову. – Я не хотел никого оскорбить. Я только делился с капитаном Локеном своими впечатлениями от того, что услышал.<br />– Помолчи, червяк! – огрызнулся Абаддон.– За оскорбление, нанесенное Эребу, мне стоило бы убить тебя на месте.<br />– Игнаций делает то, о чем я его попросил, – вмешался Локен.<br />– Ты защищаешь его, Гарвель? – удивился Абаддон. – Ты меня разочаровываешь.<br />– Эзекиль, во всем этом деле есть какая-то загадка, – сказал Локен. – Эреб явно что-то утаил от нас.<br />Абаддон покачал головой:<br />– Ты поверишь этим дурацким выдумкам и не поверишь Астартес? Болтовня с этими бумагомараками окончательно заморочила тебе голову, Локен. Командующий должен об этом услышать.<br />– Я очень на это надеюсь, – парировал Локен, злясь на Абаддона за его упертость. – И хотел бы стоять рядом, когда ты скажешь ему об этом.<br />Первый капитан резко развернулся и направился к выходу.<br />– Первый капитан Абаддон, – крикнул вслед ему Каркази. – Можно, я задам вам один вопрос?<br />– Нельзя, – отрезал Абаддон, но Каркази это не остановило:<br />– Что за монету передал вам Эреб при сегодняшней встрече?</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Thu, 05 May 2011 22:29:40 +0400 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=31#p31 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=28#p28 <p><a href="http://kontrolnaya-rabota.ru/s/" rel="nofollow" target="_blank">http://kontrolnaya-rabota.ru/s/</a></p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Wed, 09 Feb 2011 17:56:24 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=28#p28 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=27#p27 <p>10) <br />Архитектура фон Неймана (англ. von Neumann architecture) — широко известный принцип совместного хранения программ иданных в памяти компьютера. Вычислительные системы такого рода часто обозначают термином «машина фон Неймана», однако, соответствие этих понятий не всегда однозначно. В общем случае, когда говорят об архитектуре фон Неймана, подразумевают физическое отделение процессорного модуля от устройств хранения программ и данных.<br />Наличие заданного набора исполняемых команд и программ было характерной чертой первых компьютерных систем. Сегодня подобный дизайн применяют с целью упрощения конструкции вычислительного устройства. Так, настольные калькуляторы, в принципе, являются устройствами с фиксированным набором выполняемых программ. Их можно использовать дляматематических расчётов, но невозможно применить для обработки текста и компьютерных игр, для просмотра графическихизображений или видео. Изменение встроенной программы для такого рода устройств требует практически полной их переделки, и в большинстве случаев невозможно. Впрочем, перепрограммирование ранних компьютерных систем всё-таки выполнялось, однако требовало огромного объёма ручной работы по подготовке новой документации, перекоммутации и перестройки блоков и устройств и т. п.<br />Всё изменила идея хранения компьютерных программ в общей памяти. Ко времени её появления использование архитектур, основанных на наборах исполняемых инструкций, и представление вычислительного процесса как процесса выполнения инструкций, записанных в программе, чрезвычайно увеличило гибкость вычислительных систем в плане обработки данных. Один и тот же подход к рассмотрению данных и инструкций сделал лёгкой задачу изменения самих программ.<br />Важной составной частью фон-неймановской архитектуры является счетчик адреса команд. Он постоянно указывает на ячейку памяти, в которой хранится следующая команда профаммы. Считав очередную команду из памяти, процессор сразу же увеличивает значение счетчика так, чтобы он показывал на следующую команду.<br />Считанная в регистр команд операция расшифровывается, извлекаются необходимые данные, над ними в АЛУ выполняются требуемые действия и, если предусмотрено операцией, результат записывается в ОЗУ.<br />Затем во всех случаях, за исключением команды останова, описанные действия циклически повторяются.<br />Таким образом основной алгоритм работы процессора состоит из четырёх тактов.<br />1 такт. Изменение СК (счётчика команд).<br />2 такт. Считывание команды, адрес которой содержится в СК, из ОЗУ в РК (регистр команд).<br />3 такт. Расшифровывание машинной команды дешифратором: определение кода операции и адреса данных.<br />4 такт. Выполнение расшифрованной операции арифметико-логическим устройством.<br />11)<br />I&#160; ПОКОЛЕНИЕ ЭВМ<br />ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ:<br />Элементная&#160; база – электронно-вакуумные лампы.<br />Соединение элементов – навесной монтаж проводами.<br />•&#160; Габариты – ЭВМ выполнена в виде громадных шкафов.<br />•&#160; Быстродействие – 10-20 тыс. операций в секунду.<br />•&#160; Эксплуатация – сложная из-за частого выхода из строя&#160; &#160;электронно-вакуумных ламп.<br />•&#160; Программирование – машинные коды.<br />Ввод и вывод данные с помощью перфокарт,перфолент.</p> <p>II&#160; ПОКОЛЕНИЕ ЭВМ ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ<br />•Элементная&#160; база – полупроводниковые элементы (транзисторы)<br />•&#160; Соединение элементов – печатные платы и навесной монтаж.<br />•&#160; Габариты – ЭВМ выполнена в виде однотипных стоек<br />•&#160; Быстродействие – 100 – 500 тыс. операций в секунду.<br />•&#160; Эксплуатация – вычислительные центры со специальным&#160; штатом&#160; обслуживающего персонала,&#160; появилась новая&#160; специальность – оператор ЭВМ.<br />•&#160; Программирование – на алгоритмических языках, появление ОС.<br />•&#160; Оперативная память – 2 – 32 Кбайт.<br />•&#160; Введен&#160; принцип разделения времени.<br />•&#160; Введен принцип&#160; микропрограммного управления.<br />•&#160; Недостаток – несовместимость программного обеспечения.</p> <p>III&#160; ПОКОЛЕНИЕ ЭВМ ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ<br />Элементная&#160; база – интегральные схемы.<br />•&#160; Соединение элементов – печатные платы.<br />•&#160; Габариты – ЭВМ выполнена в виде однотипных стоек.<br />•&#160; Быстродействие –1-10 млн. операций в секунду.<br />•&#160; Эксплуатация – вычислительные центры, дисплейные классы, новая специальность - системный программист.<br />•&#160; Программирование -&#160; алгоритмические языки, ОС.<br />•&#160; Оперативная память – 64 Кбайт.<br />•&#160; Применяется принцип разделения времени, принцип модульности. принцип микропрограммного управления,&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;принцип магистральности<br />•&#160; Появление магнитных дисков, дисплеев, графопостроителей.<br />ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ IV поколения</p> <p>•Элементная&#160; база – большие интегральные схемы (БИС).<br />•&#160; &#160;Соединение элементов – печатные платы.<br />•&#160; &#160;Габариты – компактные ЭВМ, ноутбуки.<br />•&#160; &#160;Быстродействие –&#160; 10 -100 млн. операций в секунду.<br />•&#160; &#160;Эксплуатация – многопроцессорные и многомашинные&#160; &#160; &#160;комплексы, любые пользователи ЭВМ.<br />•&#160; &#160;Программирование – базы и банки данных.<br />•&#160; &#160;Оперативная память – 2 -5 Мбайт.<br />•&#160; &#160;Телекоммуникационная обработка данных, объединение в&#160; компьютерные сети.<br /></p> <p>Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.</p> <p>Электро&#769;нная ла&#769;мпа, радиола&#769;мпа — электровакуумный прибор (точнее, вакуумный электронный прибор), работа которого осуществляется за счёт изменения потока электронов, движущихся в вакууме или разрежённом газе между электродами.<br />Электронные лампы, предназначенные для освещения (лампы-вспышки, ксеноновые лампы, ртутные и натриевые лампы), радиолампами не называются и обычно относятся к классу осветительных приборов.<br />Некоторые простейшие электронно-лучевые приборы, из числа простейшего устройства осциллографических экранов, могут являться особым образом устроенными электронными лампами.<br />Прочие ЭЛТ устройства, такие как электронная пушка, электронно-оптическая камера, как и приборы на их основе (кинескопы, передающие телевизионные трубки), имеют иной принцип действия и внутреннее устройство, поэтому их с электронными лампами сравнивать невозможно<br />12)<br />5 поколение ЭВМ<br />1990—…<br />Переход к компьютерам пятого поколения предполагал переход к новым архитектурам, ориентированным на создание искусственного интеллекта.<br />Считалось, что архитектура компьютеров пятого поколения будет содержать два основных блока. Один из них — собственно компьютер, в котором связь с пользователем осуществляет блок, называемый «интеллектуальным интерфейсом». Задача интерфейса — понять текст, написанный на естественном языке или речь, и изложенное таким образом условие задачи перевести в работающую программу.<br />Основные требования к компьютерам 5-го поколения: Создание развитого человеко-машинного интерфейса (распознавание речи, образов); Развитие логического программирования для создания баз знаний и систем искусственного интеллекта; Создание новых технологий в производстве вычислительной техники; Создание новых архитектур компьютеров и вычислительных комплексов.<br />Новые технические возможности вычислительной техники должны были расширить круг решаемых задач и позволить перейти к задачам создания искусственного интеллекта. В качестве одной из необходимых для создания искусственного интеллекта составляющих являются базы знаний (базы данных) по различным направлениям науки и техники. Для создания и использования баз данных требуется высокое быстродействие вычислительной системы и большой объем памяти. Универсальные компьютеры способны производить высокоскоростные вычисления, но не пригодны для выполнения с высокой скоростью операций сравнения и сортировки больших объемов записей, хранящихся обычно на магнитных дисках. Для создания программ, обеспечивающих заполнение, обновление баз данных и работу с ними, были созданы специальные объектно ориентированные и логические языки программирования, обеспечивающие наибольшие возможности по сравнению с обычными процедурными языками. Структура этих языков требует перехода от традиционной фон-неймановской архитектуры компьютера к архитектурам, учитывающим требования задач создания искусственного интеллекта.</p> <p>13)<br />Иску&#769;сственный нейро&#769;н (Математический нейрон Маккалока — Питтса, Формальный нейрон[1]) — узел искусственной нейронной сети, являющийся упрощённой моделью естественного нейрона. Математически, искусственный нейрон обычно представляют как некоторую нелинейную функцию от единственного аргумента — линейной комбинации всех входных сигналов. Данную функцию называют функцией активации[2] или функцией срабатывания, передаточной функцией. Полученный результат посылается на единственный выход. Такие искусственные нейроны объединяют в сети — соединяют выходы одних нейронов с входами других. Искусственные нейроны и сети являются основными элементами идеального нейрокомпьютера.[3]</p> <p>14)<br /> </p> <p>Логическая схема перцептрона с тремя выходами<br />Перцептро&#769;н, или персептрон[nb 1] (англ. perceptron от лат. perceptio — восприятие; нем. perzeptron) — математическая икомпьютерная модель восприятия информации мозгом (кибернетическая модель мозга), предложенная Фрэнком Розенблаттом в 1957 году и реализованная в виде электронной машины «Марк-1»[nb 2] в 1960 году. Перцептрон стал одной из первых моделей нейросетей, а «Марк-1» — первым в мире нейрокомпьютером. Несмотря на свою простоту, перцептрон способен обучаться и решать довольно сложные задачи.<br />Перцептрон состоит из трёх типов элементов, а именно: поступающие от сенсоров сигналы передаются ассоциативнымэлементам, а затем реагирующим элементам. Таким образом, перцептроны позволяют создать набор «ассоциаций»между входными стимулами и необходимой реакцией на выходе. В биологическом плане это соответствует преобразованию, например, зрительной информации в физиологический ответ от двигательных нейронов. Согласно современной терминологии, перцептроны могут быть классифицированы как искусственные нейронные сети:<br />1. с одним скрытым слоем;[nb 3]<br />2. с пороговой передаточной функцией;<br />3. с прямым распространением сигнала.<br />На фоне роста популярности нейронных сетей, в 1969 году вышла книга Марвина Минского и Сеймура Паперта, которая показала принципиальные ограничения перцептронов. Это привело к смещению интереса исследователей искусственного интеллекта в противоположную от нейросетей область символьных вычислений.[nb 4] Кроме того, из-за сложностиматематического анализа перцептронов, а также отсутствия общепринятой терминологии, возникли различные неточности и заблуждения.<br />Впоследствии интерес к нейросетям, и в частности, работам Розенблатта, возобновился. Так, например, сейчас стремительно развивается биокомпьютинг, который в своей теоретической основе вычислений, в том числе, базируется на нейронных сетях, а перцептрон воспроизводят на основе бактериородопсин-содержащих пленок.<br />15)<br />Архитектуры оперативной памяти </p> <p>Давайте в первую очередь определим, какими факторами определяется производительность оперативной памяти.<br />Естественно было бы основным фактором производительности системы оперативной памяти назвать ее пропускную способность, т.е. количество мегабайт в секунду, которое способна считать (записать) оперативная память. Разумеется, пропускная способность оперативной памяти напрямую зависит от частоты работы чипов памяти и от ширины шины, связывающей память и процессор, и обычно определяется как произведение ширины шины на частоту ее работы. Например, ширина шины 64 бита, частота работы памяти 100 МГц, пропускная способность - 8 байт (64 бита) * 100 МГц = 800 Мбайт/с.<br />Но пропускная способность - не единственный фактор, определяющий производительность подсистемы памяти. Важнейшим параметром также является время доступа, т.е. временная задержка между запросом на выдачу какой-либо информации из памяти и ее реальной выдачей. Какая память лучше: с малой задержкой и малой пропускной способностью или с большой задержкой и большой пропускной способностью? Однозначного ответа на этот вопрос, конечно, быть не может. Если конкретная программа работает с большими массивами непрерывных данных, т.е. лишь однажды получает доступ, а затем много линейно считывает, то для такой программы оптимальна память с большой пропускной способностью, а если программа оперирует малыми блоками данных, т.е. постоянно получает доступ к разным областям памяти и понемногу читает из каждой области, то оптимальна память с малым временем доступа, а пропускная способность имеет меньшее значение. Так как обычно на компьютере исполняются разные приложения, то очень трудно найти компромисс. В общем случае, естественно, необходимо стремиться к тому, чтобы и время доступа и пропускная способность памяти были хорошими. Разобравшись с параметрами скорости, которыми мы будем описывать архитектуру памяти, теперь можно рассмотреть какие конкретно типы памяти применялись и применяются в персональном компьютере.<br />DRAM<br />В самых первых PC в качестве оперативной памяти использовалась так называемая DRAM (Dynamic RAM). Ячейки памяти в микросхеме DRAM - это крошечные конденсаторы, которые удерживают заряды. Именно наличием или отсутствием заряда кодируются биты. Основная проблема такой организации памяти в том, что она динамическая, т.е. должна регенерироваться, так как в противном случае заряды с конденсаторов &quot;стекают&quot; и данные будет потеряны. Регенерация происходит, когда контроллер памяти системы (встроенный обычно в чипсет) берет перерыв и обращается ко всем строкам данных в микросхеме памяти. Регенерация, естественно, занимает время работы системы, во время, когда происходит регенерация памяти, процессор фактически ждет, ничего полезного не делая. Чем быстрее происходит регенерация, тем меньше процессорного времени теряется и тем производительнее работает система.<br />В DRAM для хранения одного бита данных используется только один транзистор и один конденсатор, поэтому технология DRAM позволяет делать достаточно компактные чипы с немалой емкостью. Например, сегодня существуют чипы, базирующиеся на технологии DRAM емкостью 512 Мбит, т.е. они содержат 1/2 миллиарда транзисторов. Для сравнения в современных процессорах количество транзисторов измеряется десятками миллионов. Но структура чипа DRAM весьма проста, представляя собой двумерную матрицу, в отличие от сложной архитектуры современного процессора. Итого: основное достоинство динамической памяти - немалая емкость при малых физических размерах чипа и небольшая цена. Применяемые в первых компьютерах и применяемые сегодня архитектуры памяти базируются в основном на динамической памяти. Давайте рассмотрим разновидности DRAM, нашедшие применение в PC и их достоинства.<br />Ячейки памяти организованы в матрицу, состоящую из строк и столбцов. Полный адрес ячейки данных включает два компонента — адрес строки (row Адрес, бит) и адрес столбца (column Адрес, бит). На рисунке представлена матрица, состоящая из 32 строк и 32 столбцов, то есть из 1024 ячеек.<br />Когда CPU (или устройство, использующее канал DMA) обращается к памяти Для чтения информации, на входы микросхемы поступает строб вывода данных ОЕ (Output Enabled), затем подается адрес строки и одновременно с ним (или с задержкой) сигнал RAS (Row Адрес, бит Strobe). Это означает, что каждая шина столбца соединяется с ячейкой памяти выбранной строки. Адрес ячейки поступает по адресным линиям (в нашем случае их десять) на дешифратор, который преобразует поступивший набор нулей и единиц в номер строки. Емкость конденсатора очень мала (доли пикофарады) и его заряд тоже мал, поэтому используется усилитель, подключенный к каждой шине столбца динамической памяти. Информация считывается со всей строки запоминающих элементов одновременно и помешается в буфер ввода-вывода.<br />С незначительной задержкой после сигнала RAS на входы динамической памяти подается адрес столбца и сигнал CAS (Column Адрес, бит Strobe). При чтении данные выбираются из буфера ввода-вывода и поступают на выход динамической памяти в соответствии с адресом столбца.<br />При считывании информации из ячеек памяти происходит ее разрушение, поэтому производится перезапись считанной информации: выходы регистра строки снова соединяются с общими шинами столбцов памяти, чтобы перезаписать считанную информацию из строки. Если ячейка имела заряд, то она снова будет заряжена еще до завершения цикла чтения. На ячейки, которые не имели заряда, напряжение не подается.<br />Если выполняется запись в память, то подается строб записи WE (Write Enable) и информация поступает на соответствующую шину столбца не из буфера, а с входа памяти в соответствии с адресом столбца. Таким образом, прохождение данных при записи задается комбинацией сигналов, определяющих адрес столбца и строки, а также сигналом разрешения записи данных в память.<br />FPM DRAM<br />Первой, нашедшей применение в PC модификацией DRAM, была память, которая работала в так называемом быстром страничном режиме и ее принято называть FPM DRAM (Fast Page Mode DRAM) или просто FPM. Чтобы сократить время ожидания на выборку данных (на доступ) стандартная DRAM разбивается на страницы. Обычно для доступа к данным в памяти требуется указать строку и столбец адреса, что занимает некоторое время. Разбиение на страницы обеспечивает более быстрый доступ ко всем данным в пределах данной строки памяти, т.е. если изменяется лишь номер столбца, но не номер строки.<br />Страничная организация памяти - простая схема повышения эффективности, в соответствии с которой память разбивается на страницы от 512 байт до нескольких килобайт. Соответствующая схема обращения позволяет в пределах страницы уменьшить количество состояний ожидания.<br />Чтобы увеличить скорость доступа к памяти был разработан так называемы пакетный (burst) режим доступа. Преимущества пакетного режима доступа проявляются тогда, когда доступ к памяти является последовательным (т.е. считывание происходит последовательно одно за другим из соседних ячеек). После задания строки и столбца и считывания информации, к следующим трем соседним адресам можно обращаться без дополнительных циклов ожидания. Однако доступ в таком пакетном режиме ограничивается лишь четырьмя операциями чтения-записи, затем необходимо снова полностью адресоваться к строке и столбцу.<br />Принято говорить о схеме синхронизации доступа в пакетном режиме в виде x-y-y-y, где х - количество тактов ожидания для произведения чтения первого адреса, а затем y - количество тактов ожидания для чтения каждого следующего адреса в пакетном режиме. (Такт - один период электромагнитного колебания той частоты, на которой работает память. Например: частота памяти 100МГц, один период равен 1/100млн, т.е. равен 10нс).<br />Архитектура DRAM такова, что для получения доступа первый раз необходимо 5 тактов ожидания. Если не разбивать память на страницы и не пользоваться пакетным режимом доступа, то каждая следующая операция получения доступа к следующей ячейке памяти тоже будет занимать 5 тактов ожидания. Однако если пользоваться разбиением на страницы и режимом burst, то, получив доступ первый раз, потратив на это 5 тактов ожидания, содержимое следующих ячеек можно считать, потратив на это лишь три такта ожидания, т.е. в режиме FPM схема доступа имеет вид не 5-5-5-5, как у обычной DRAM, а 5-3-3-3. В этом и преимущество памяти типа FPM перед обычной DRAM. Т.е. использование памяти типа FPM позволяет при той же частоте работы чипов памяти увеличить производительность обмена за счет сокращения времени на получение доступа к памяти.<br />EDO DRAM<br />Начиная с 1995 года, в PC используется новый тип оперативной памяти - EDO (Extended Data Out). Это усовершенствованный тип памяти FPM, у него было еще одно название, которое сейчас не используется Hyper Page Mode. Микросхемы памяти EDO учитывают перекрытие синхронизации между очередными операциями доступа. За счет этого удается частично совместить по времени следующий цикл чтения с предыдущим, т.е. чипсет при работе с EDO памятью может начать выполнение новой команды выборки столбца, пока данные считываются по текущему адресу, за счет чего еще уменьшаются задержки на получение доступа.<br />Для оперативной памяти EDO схема синхронизации в пакетном режиме имеет вид 5-2-2-2, т.е. на четырех операциях считывания тратится не 14, а 11 тактов. Т.е. налицо явный прирост производительности, в то время как стоимость чипов типа EDO лишь немного отличалась от чипов FPM.<br />Пока что все рассмотренные нами архитектуры были лишь вариантами оригинальной DRAM, отличаясь схемой доступа в пакетном режиме, что, конечно, давало соответствующий прирост производительности. Частоты, на которых функционировала память перечисленных типов примерно таковы: DRAM функционировала с частотой 4,77 МГц (в первых PC) до 10-12 МГц. Затем применялась память типа FPM, ее частота функционирования составляла 10-40 МГц в 386 системах, 25-50 МГц в 486 системах и 50-66 МГц в Pentium системах. Память типа EDO применялась наряду с FPM в 486 и Pentium системах на аналогичных частотах. Те технологии, которые мы рассмотрели на данный момент, можно назвать вчерашним днем. Что мы видим в период развития архитектуры памяти в период с первых PC, до середины доминирования на рынке процессоров Pentium?<br />Улучшение идеологии построения чипов памяти, приведшее к разработке новых типов архитектур (в рамках DRAM), в каждой новой архитектуре применяется новая схема работы с памятью, приводящая к уменьшению задержек при получении доступа и планомерное увеличение тактовой частоты работы памяти. При этом нужно отметить, что увеличение тактовой частоты памяти увеличивает не только пропускную способность (естественно, линейно), но и уменьшает время доступа. Почему?<br />Мы описывали время доступа как количество тактов ожидания, соответствующих задержке перед получением доступа. Но ведь реальная задержка измеряется в единицах времени, а не в каких-то абстрактных тактах. А величина одного такта как раз и определяется тактовой частотой, на которой работает память. Ведь чем больше тактовая частота, тем меньше время одного такта, и, следовательно, тем меньше время доступа. Если, к примеру, память работает на частоте 100 МГц, то время одного такта 1/100млн = 10нс, и 5 тактов ожидания соответствуют задержке в 50нс, то при частоте работы памяти 133 МГц время одного такта 7,5 нс, а задержка в 5 тактов равна 37,5 нс.<br />Давайте теперь поговорим об оперативной памяти дня сегодняшнего, а затем и памяти завтрашнего дня.<br />SDRAM<br />Уже начиная с 1997 года на смену памяти типа FPM и EDO приходит новый тип оперативной памяти: SDRAM (Synchronous DRAM) - синхронная DRAM. Эффективность SDRAM намного выше, чем у ее предшественников. Во-первых, дело в том, что схема пакетного чтения у SDRAM намного эффективнее, чем у EDO или FPM и описывается формулой 5-1-1-1. Т.е. для считывания четырех значений подряд задержка для памяти типа FPM составит 5+3+3+3=14 тактов, у EDO 5+2+2+2=11 тактов, а у SDRAM 5+1+1+1=8 тактов.<br />Но это еще не все. Дело в том, что SDRAM более технологична, чем ее предшественники, и ее проще изготовить для работы на более высоких частотах. И если впервые SDRAM применяли в PC на частоте 66 МГц (как и EDO и FPM в то время), то затем были разработаны чипы SDRAM, работающие на частоте 100 МГц, а после и 133 МГц. Но время SDRAM практически завершилось. Сегодня компьютерная индустрия использует в качестве современной оперативной памяти компьютера две технологии - DDR SDRAM и DR DRAM.<br />DR DRAM (Rambus)<br />Начиная с 1999 года, Intel продвигали на рынок принципиально новый тип памяти - DR DRAM(Direct Rambus DRAM), который был разработан по их заказу небольшая исследовательская фирма Rambus. Аналогичный тип памяти уже использовался в игровых приставках — в популярной модели Nintendo 64.<br />Обычные типы памяти (FPM/RDO и SDRAM) иногда называют системами с широким каналом. Ширина канала памяти равна ширине шины данных процессора (в системах Pentium 64-бит). Максимальная производительность памяти DIMM SDRAM PC100 составляет 100x8 (частота х количество передаваемых данных за один такт), или 800 Мбайт/с. Микросхемы RDRAM увеличивают пропускную способность памяти — в них предусмотрена 16-разрядная шина передачи данных, частота увеличена до 800 МГц. а пропускная способность равна 1,6 Гбайт/с. Для увеличения производительности можно используются двух- и четырехканаль± позволяют увеличить скорость передачи данных до 3,2 или 6,4 Гбайт/с соответственно.<br />Один канал памяти Rambus принципиально может поддерживать до 32 отдельных устройств RDRAM (микросхем RDRAM), которые устанавливаются в модули RIMM (Rambus Inline Memory Modules). Вся работа с памятью организуется между контроллером памяти и отдельным (а не всеми) устройством. Каждые 10нс (100МГц) одна микросхема RDRAM может передавать 16 байт. RDRAM работает быстрее SDRAM приблизительно в три раза. Для увеличения производительности было предложено еще одно конструктивное решение: передача управляющей информации отделена от передачи данных по шине. Для этого предусмотрены независимые схемы управления, а на адресной шине выделены две группы контактов: для команд выбора строки и столбца и для передачи данных по шфронтам тактового сигнала, т.е. дважды в тактовом импульсе (практически в режиме DDR). Правая граница тактового импульса называется четным циклом, а левая — нечетным. Синхронизация осуществляется с помощью передачи пакетов данных в начале четного цикла. Максимальное время ожидания составляет 2,5 нс.<br />На рисунке показано отношение между тактовым сигналом и циклами передачи данных. Пять полных циклов тактового сигнала соответствуют десяти циклам данных.<br />DDR SDRAM<br />DDR (Double Data Rate) SDRAM по многим параметрам и способам изготовления мало чем отличается от обычной SDRAM: та же синхронизация шины памяти с системной шиной, практически то же производственное оборудование, энергопотребление, почти не отличающееся от SDRAM, площадь чипа больше лишь на несколько процентов. Это позволило сразу без значительных материальных и временных издержек создать новую быстродействующую память, причем по цене, мало отличающейся от обычной SDRAM (кстати, DDR SDRAM еще иногда именуют SDRAM-II).<br />Так как DDR SDRAM основывается на обычной SDRAM, то она имеет сопоставимые латентные характеристики, и поэтому зачастую работает быстрее своего конкурента в лице RDRAM, у которой как раз имеются ощутимые проблемы с латентностью.<br />А сейчас, разобравшись с технологиями чипов оперативной памяти, мы с Вами разберемся с тем, какие модули, непосредственно устанавливаемые в компьютер, изготавливают с использованием рассмотренных нами архитектур памяти.<br />4. Дешифратор<br />Цифровая часть дешифратора позволяет выделить на фоне помех и других сигналов &quot;свой&quot;. Схема простого дешифратора индивидуального кода приведена на рис. 1.<br />Так как от данной системы не требуется иметь дешифратор на много возможных вариантов кода, схему удалось выполнить всего на трех микросхемах. При этом используется свойство КМОП микросхем работать при низковольтном питании.<br />Пачки входных импульсов поступают на формирователь, собранный из элементов R1, С1 и D1.1. Такая схема предотвращает срабатывание повторителя сигнала D1.1 от кратковременных помех, а также обеспечивает крутые фронты импульсов на выходе, независимо от их крутизны на входе.<br />С выхода D1.1/3 импульсы поступают на счетчик импульсов D2 и детектор паузы, собранный на элементах R2, С2, VD1, D1.2. Пока на выходе D1.1 действует уровень лог. &quot;0&quot;, конденсатор С2 через диод VD1 быстро разряжается и на выходе D1.2/4 будет действовать лог. &quot;0&quot;. В паузе между пачками импульсов С2 постепенно зарядится через резистор R2 и на выходе D1.2 сформируются импульсы, положительный фронт которых выполняет запись состояния с выхода счетчика D2/10 в триггер D3.1. Этот же импульс, поступая на вход R, переводит счетчик D2 в исходное состояние (обнуляет). Данный процесс периодически повторяется при появлении очередной пачки импульсов на входе. Диаграмма напряжений, показанная на рис. 2, поясняет работу схемы.<br />Если число импульсов в пачке равно 7, на выходе D2/10 появляются импульсы, высокий уровень которых записывается в регистр триггера D3.1. На триггерах D3.1 и D3.2 собраны формирователи интервалов длительностью 1,5 и 35 с соответственно. Цепь из элементов R6-C5 исключает случайную запись в триггер D3.2 лог. &quot;1&quot; в момент включения питания приемника.<br />Светодиод HL1 индицирует наличие принятого кода, и по его состоянию можно легко определить, какая группа датчиков на охраняемом автомобиле сработала.<br /> </p> <p>Рис. 1. Электрическая схема дешифратора<br />Так, при кратковременном срабатывании любого из датчиков HL1 будет мигать с интервалом около 2 с. Если же он постоянно светится, то, значит, постоянно замкнут один из датчиков F2...Fn. В случае, если включился звук оповещения, а светодиод не светится, — скорее всего дешифратор сработал от помехи (исключение составляет однократное срабатывание звукового сигнала приемника при включении режима проверки радиоканала).<br /> </p> <p>Рис. 2. Эпюры напряжения в контрольных точках<br />Триггер D3.2 при появлении на его выводе 13 лог. &quot;1&quot; разрешает работу низкочастотного автогенератора на элементах D1.3, D1.4 в течение времени не менее 35 с. Этот интервал не зависит от того, какой из датчиков замкнулся. Звуковой сигнал в приемнике будет звучать, пока работает передатчик, а также некоторое время после его отключения (до 35 с). Выключение звукового сигнала выполняется кнопкой SB1, если светодиод не светится, или же выключателем SA1, в случае продолжения работы передатчика.<br />В качестве звукового сигнализатора использован пьезоизлучатель типа ЗП-25 (ЗП-22, ЗП-18). А для того чтобы повысить громкость его работы при низковольтном питании, параллельно с пьезокерамическим излучателем включена катушка 11. Она содержит 400 витков провода ПЭЛ диаметром 0,08 мм (0,1 или 0,12 мм), намотанных на склеенных клеем БФ-2 (&quot;Момент&quot;) двух кольцах типоразмера К10х6х3 мм из феррита 700НМ1 (или 1000НН). Подбором номинала резистора R10 можно настроить частоту низкочастотного генератора так, чтобы громкость звукового сигнала была максимальной.<br />Предварительную проверку работы дешифратора удобно выполнять, подавая инверсный сигнал с модулятора передатчика на вход элемента D1.1.<br />В схеме применены резисторы МЛТ, конденсаторы типа К10-17, а С4 — К50-16.<br />Корпус приемника имеет такую же конструкцию, как и в опубликованном выше электрошоковом устройстве (две платы, одна из которых одновременно является антенной, образуют каркас, на который одевается кожух). Некоторые<br />стойки крепления между платами являются одновременно соединительными цепями.<br />После окончательной сборки и настройки приемника нужно измерить потребляемый схемой ток. Он не должен превышать значений, указанных в технических параметрах. Причиной повышенного потребления тока может быть ошибочное подключение полярности электролитических конденсаторов или ошибки монтажа.<br />Для уменьшения размеров дешифратора в схеме можно применять аналогичные микросхемы с планарным расположением выводов из серии 564.<br />Если на данной частоте имеется большой уровень помех, то большую помехоустойчивость может обеспечить дешифратор кода, схема которого описана в литературе [Л11, стр. 140]. Она содержит в два раза больше микросхем, но позволяет последовательно запоминать три принятых кодовых посылки, и, если не менее двух из них правильные — схема принимает решение о достоверном приеме своего сигнала.<br />16)<br />Статическая и динамическая оперативная память<br />Оперативная память — совокупность специальных электронных ячеек, каждая из которых может хранить конкретную 8-значную комбинацию из нулей и единиц — 1 байт (8 бит). Каждая такая ячейка имеет адрес (адрес байта) и содержимое (значение байта). Адрес нужен для обращения к содержимому ячейки, для записи и считывания информации. Оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) хранит информацию только во время работы компьютера. Емкость оперативной памяти современного компьютера 32-138 Мбайт.<br />При выполнении микропроцессором вычислительных операций должен быть в любой момент обеспечен доступ к любой ячейке оперативной памяти. Поэтому ее называют памятью с произвольной выборкой — RAM (Random Access Memory). Оперативная память выполнена обычно на микросхемах динамического типа с произвольной выборкой (Dynamic Random Access Memory, DRAM). Каждый бит такой памяти представляется в виде наличия (или отсутствия) заряда на конденсаторе, образованном в структуре полупроводникового кристалла. Другой, более дорогой тип памяти — статический (Static RAM, SRAM) в качестве элементарной ячейки использует так называемый статический триггер (схема которого состоит из нескольких транзисторов). Статический тип памяти обладает более высоким быстродействием и используется, например, для организации кэш-памяти.</p> <p>Статическая память<br />Статическая память (SRAM) в современных ПК обычно применяется в качестве кэш-памяти второго уровня для кэширования основного объема ОЗУ. Статическая память выполняется обычно на основе ТТЛ-, КМОП- или БиКМОП-микросхем и по способу доступа к данным может быть как асинхронной, так и синхронной. Асинхронным называется доступ к данным, который можно осуществлять в произвольный момент времени. Асинхронная SRAM применялась на материнских платах для третьего — пятого поколения процессоров. Время доступа к ячейкам такой памяти составляло от 15 нс (33 МГц) до 8 нс (66 МГц).<br />Для описания характеристик быстродействия оперативной памяти применяются так называемые циклы чтения/записи. Дело в том, что при обращении к памяти на считывание или запись первого машинного слова расходуется больше тактов, чем на обращение к трем последующим словам. Так, для асинхронной SRAM чтение одного слова выполняется за 3 такта, запись — за 4 такта, чтение нескольких слов определяется последовательностью 3—2—2—2 такта, а запись — 4—3—3—3.<br />Синхронная память обеспечивает доступ к данным не в произвольные моменты времени, а синхронно с тактовыми импульсами. В промежутках между ними память может готовить для доступа следующую порцию данных. В большинстве материнских плат пятого поколения используется разновидность синхронной памяти — синхронно-конвейерная SRAM (Pipelined Burst SRAM), для которой типичное время одиночной операции чтения/записи составляет 3 такта, а групповая операция занимает 3—1—1—1 такта при первом обращении и 1—1—1—1 при последующих обращениях, что обеспечивает ускорение доступа более, чем на 25%.</p> <p>Динамическая память<br />Динамическая память (DRAM) в современных ПК используется обычно в качестве оперативной памяти общего назначения, а также как память для видеоадаптера. Из применяемых в современных и перспективных ПК типов динамической памяти наиболее известны DRAM и FPM DRAM, EDO DRAM и BEDO DRAM, EDRAM и CDRAM, Synchronous DRAM, DDR SDRAM и SLDRAM, видеопамять MDRAM, VRAM, WRAM и SGRAM, RDRAM.<br />В памяти динамического типа биты представляются в виде отсутствия и наличия заряда на конденсаторе в структуре полупроводникового кристалла. Конструктивно она выполняется в виде модуля SIMM (Single in line memory module). Каждый бит информации записывается в отдельной ячейке памяти, состоящей из конденсатора и транзистора. Наличие заряда на конденсаторе соответствует 1 в двоичном коде, отсутствие — 0. Транзистор при переключении дает возможность считывать бит информации или записывать новый бит в пустую ячейку памяти.<br />Поиск ячейки по адресу осуществляется специальными дешифрующими схемами, которые образуют матрицу, то есть пересекают кристалл памяти двумя полосами — по горизонтали и вертикали. Когда центральный процессор сообщает адрес ячейки, горизонтальные дешифраторы указывают нужный столбец, а вертикальные — строку. На пересечении находится искомая ячейка. После нахождения ячейки происходит выборка их нее байта данных. </p> <p>Рис. 4. Симметричные триггеры: а — с непосредственной связью между каскадами; б — с резистивной связью</p> <p>Рассмотрим структурную схему ячейки динамической оперативной памяти. Её можно представить из трёх элементов:<br />– транзистора, выполняющего роль ключа;<br />– конденсатора, который хранит информацию;<br />– устройства регенерации, которое регенерирует заряд конденсатора или информацию на нужных конденсаторах;<br />На самом деле, отдельного конденсатора нет, его роль выполняет ёмкость между затвором и истоком транзистора. Но для простоты изложения ёмкость выделена как бы в отдельный элемент.<br />Поскольку ёмкость достаточно маленькая и имеет место достаточно быстрый её разряд, т.е. потеря информации, в случае, если была записана «1», возникает необходимость в регенерации между разрядами. Кроме того, при считывании из ячейки оперативной памяти информации, заряд также исчезает, поэтому и в этом случае необходима регенерация. Устройство регенерации и осуществляет постоянные циклы регенерации или восстановления информации.</p> <p>17)<br />Флеш-память (англ. flash memory) — разновидность твердотельной полупроводниковой энергонезависимойперезаписываемой памяти (ПППЗУ).<br />Она может быть прочитана сколько угодно раз (в пределах срока хранения данных, типично — 10-100 лет), но писать в такую память можно лишь ограниченное число раз (максимально — около миллиона циклов [1]). Распространена флеш-память, выдерживающая около 100 тысяч циклов перезаписи — намного больше, чем способна выдержать дискета илиCD-RW.<br />Не содержит подвижных частей, так что, в отличие от жёстких дисков, более надёжна и компактна.<br />Благодаря своей компактности, дешевизне и низкому энергопотреблению флеш-память широко используется в цифровых портативных устройствах — фото- и видеокамерах, диктофонах, MP3-плеерах, КПК, мобильных телефонах, а такжесмартфонах и коммуникаторах. Кроме того, она используется для хранения встроенного программного обеспечения в различных устройствах (маршрутизаторах, мини-АТС, принтерах, сканерах, модемax), различных контроллерах.<br />Также в последнее время широкое распространение получили USB флеш-накопители («флешка», USB-драйв, USB-диск), практически вытеснившие дискеты и CD.<br />На конец 2008 года основным недостатком, не позволяющим устройствам на базе флеш-памяти вытеснить с рынка жёсткие диски, является высокое соотношение цена/объём, превышающее этот параметр у жестких дисков в 2—3 раза. В связи с этим и объёмы флеш-накопителей не так велики. Хотя работы в этих направлениях ведутся. Удешевляется технологический процесс, усиливается конкуренция. Многие фирмы уже заявили о выпуске SSD-накопителей объёмом 256 Гб и более. Например в ноябре 2009 года компания OCZ предложила SSD-накопитель ёмкостью 1 ТБ и 1,5 млн циклов перезаписи.<br />Ещё один недостаток первого поколения устройств на базе флеш-памяти по сравнению с жёсткими дисками — как ни странно, меньшая скорость. Несмотря на то, что производители SSD-накопителей заверяют, что скорость этих устройств выше скорости винчестеров, в реальности она оказывалась ощутимо ниже. Конечно, SSD-накопитель не тратит подобно винчестеру время на разгон, позиционирование головок и т. п. Но время чтения, а тем более записи, ячеек флеш-памяти, используемой ранее в SSD-накопителях, больше. Что и приводило к значительному снижению общей производительности.<br />Современные SSD-накопители базируются на многоканальных контроллерах, обеспечивающих паралельное чтение сразу из нескольких микросхем флеш памяти. За счет этого их производительность выросла на столько, что ограничивающим фактором стала уже пропускная способность интерфейса SerialATA II.<br />Флеш-память хранит информацию в массиве транзисторов с плавающим затвором, называемых ячейками (англ. cell). В традиционных устройствах с одноуровневыми ячейками (англ. single-level cell, SLC), каждая из них может хранить только один бит. Некоторые новые устройства с многоуровневыми ячейками (англ. multi-level cell, MLC; triple-level cell, TLC [2]) могут хранить больше одного бита, используя разный уровень электрического заряда на плавающем затворе транзистора.<br />[править]NOR<br />В основе этого типа флеш-памяти лежит ИЛИ-НЕ элемент (англ. NOR), потому что в транзисторе с плавающим затвором низкое напряжение на затворе обозначает единицу.<br />Транзистор имеет два затвора: управляющий и плавающий. Последний полностью изолирован и способен удерживать электроны до 10 лет. В ячейке имеются также сток и исток. При программировании напряжением на управляющем затворе создаётся электрическое поле и возникает туннельный эффект. Часть электронов туннелирует сквозь слой изолятора и попадает на плавающий затвор. Заряд на плавающем затворе изменяет «ширину» канала сток-исток и его проводимость, что используется при чтении.<br />Программирование и чтение ячеек сильно различаются в энергопотреблении: устройства флеш-памяти потребляют достаточно большой ток при записи, тогда как при чтении затраты энергии малы.<br />Для стирания информации на управляющий затвор подаётся высокое отрицательное напряжение, и электроны с плавающего затвора переходят (туннелируют) на исток.<br />В NOR-архитектуре к каждому транзистору необходимо подвести индивидуальный контакт, что увеличивает размеры схемы. Эта проблема решается с помощью NAND-архитектуры.<br />[править]NAND<br />В основе NAND-типа лежит И-НЕ элемент (англ. NAND). Принцип работы такой же, от NOR-типа отличается только размещением ячеек и их контактами. В результате уже не требуется подводить индивидуальный контакт к каждой ячейке, так что размер и стоимость NAND-чипа может быть существенно меньше. Также запись и стирание происходит быстрее. Однако эта архитектура не позволяет обращаться к произвольной ячейке.<br />NAND и NOR-архитектуры сейчас существуют параллельно и не конкурируют друг с другом, поскольку находят применение в разных областях хранения данных.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 14 Jan 2011 08:31:56 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=27#p27 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=26#p26 <p>1)<br />Количество информации. Формулы Шеннона и Хартли. Примеры применения этих формул.<br />В 1928 г. американский инженер Р. Хартли предложил научный подход к оценке сообщений. Предложенная им формула имела следующий вид:</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; I = log2 K ,<br />Где К - количество равновероятных событий; I - количество бит в сообщении, такое, что любое из К событий произошло. Тогда K=2I.<br />Иногда формулу Хартли записывают так:</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; I = log2 K = log2 (1 / р) = - log2 р,<br />т. к. каждое из К событий имеет равновероятный исход р = 1 / К, то К = 1 / р.</p> <p>&#160; &#160;Задача.</p> <p>&#160; &#160;Шарик находится в одной из трех урн: А, В или С. Определить сколько бит информации содержит сообщение о том, что он находится в урне В.</p> <p>&#160; &#160;Решение.</p> <p>&#160; &#160;Такое сообщение содержит I = log2 3 = 1,585 бита информации.</p> <p>&#160; &#160;Но не все ситуации имеют одинаковые вероятности реализации. Существует много таких ситуаций, у которых вероятности реализации различаются. Например, если бросают несимметричную монету или &quot;правило бутерброда&quot;.</p> <p>&#160; &#160;&quot;Однажды в детстве я уронил бутерброд. Глядя, как я виновато вытираю масляное пятно, оставшееся на полу, старший брат успокоил меня:</p> <p>&#160; &#160;-&#160; &#160; не горюй, это сработал закон бутерброда.</p> <p>&#160; &#160;-&#160; &#160; Что еще за закон такой? - спросил я.</p> <p>&#160; &#160;-&#160; &#160; Закон, который гласит: &quot;Бутерброд всегда падает маслом вниз&quot;. Впрочем, это шутка, - продолжал брат.- Никакого закона нет. Прсто бутерброд действительно ведет себя довольно странно: большей частью масло оказывается внизу.</p> <p>&#160; &#160;-&#160; &#160; Давай-ка еще пару раз уроним бутерброд, проверим, - предложил я. - Все равно ведь его придется выкидывать.</p> <p>&#160; &#160;Проверили. Из десяти раз восемь бутерброд упал маслом вниз.</p> <p>&#160; &#160;И тут я задумался: а можно ли заранее узнать, как сейчас упадет бутерброд маслом вниз или вверх?</p> <p>&#160; &#160;Наши опыты прервала мать…&quot;<br />&#160; &#160;( Отрывок из книги &quot;Секрет великих полководцев&quot;, В.Абчук).</p> <p>&#160; &#160;В 1948 г. американский инженер и математик К Шеннон предложил формулу для вычисления количества информации для событий с различными вероятностями.<br />Если I - количество информации,<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160;К - количество возможных событий,<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160;рi - вероятности отдельных событий,<br />то количество информации для событий с различными вероятностями можно определить по формуле:</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; I = - Sum рi log2 рi, <br />где i принимает значения от 1 до К.</p> <p>&#160; &#160;Формулу Хартли теперь можно рассматривать как частный случай формулы Шеннона:</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; I = - Sum 1 / К log2 (1 / К) = I = log2 К.</p> <p>&#160; &#160;При равновероятных событиях получаемое количество информации максимально.<br />2)<br />Законы алгебры логики<br />Законы алгебры логики базируются на аксиомах и позволяют преобразовывать логические функции. Логические функции преобразуются с целью их упрощения, а это ведет к упрощению цифровой схемы.<br />АКСИОМЫ алгебры логики описывают действие логических функций &quot;И&quot; и &quot;ИЛИ&quot; и записываются следующими выражениями:<br />0 * 0 = 0<br />0 * 1 = 0<br />1 * 0 = 0<br />1 * 1 = 1 0 + 0 = 0<br />0 + 1 = 1<br />1 + 0 = 1<br />1 + 1 = 1<br />Всего имеется пять законов алгебры логики:<br />1. Закон одинарных элементов<br />1 * X = X<br />0 * X = 0<br />1 + X = 1<br />0 + X = X<br />Этот закон непосредственно следует из приведённых выше выражений аксиом алгебры логики.<br />Верхние два выражения могут быть полезны при построении коммутаторов, ведь подавая на один из входов элемента “2И” логический ноль или единицу можно либо пропускать сигнал на выход, либо формировать на выходе нулевой потенциал.<br />Второй вариант использования этих выражений заключается в возможности избирательного обнуления определённых разрядов многоразрядного числа. При поразрядном применении операции &quot;И&quot; можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды единичный или нулевой потенциал. Например, требуется обнулить 6, 3 и 1 разряды. Тогда:</p> <p>В приведённом примере отчётливо видно, что для обнуления необходимых разрядов в маске (нижнее число) на месте соответствующих разрядов записаны нули, в остальных разрядах записаны единицы. В исходном числе (верхнее число) на месте 6 и 1 разрядов находятся единицы. После выполнения операции &quot;И&quot; на этих местах появляются нули. На месте третьего разряда в исходном числе находится ноль. В результирующем числе на этом месте тоже присутствует ноль. Остальные разряды, как и требовалось по условию задачи, не изменены.<br />Точно так же можно записывать единицы в нужные нам разряды. В этом случае необходимо воспользоваться нижними двумя выражениями закона одинарных элементов. При поразрядном применении операции “ИЛИ” можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды нулевой или единичный потенциал. Пусть требуется записать единицы в 7 и 6 биты числа. Тогда:</p> <p>Здесь в маску (нижнее число) мы записали единицы в седьмой и шестой биты. Остальные биты содержат нули, и, следовательно, не могут изменить первоначальное состояние исходного числа, что мы и видим в результирующем числе под чертой.<br />Первое и последнее выражения позволяют использовать логические элементы с большим количеством входов в качестве элементов с меньшим количеством входов. Для этого неиспользуемые входы в схеме “И” должны быть подключены к источнику питания, как это показано на рисунке 1:</p> <p>Рисунок 1. Схема &quot;2И-НЕ&quot;, реализованная на элементе &quot;3И-НЕ&quot;.<br />а неиспользуемые входы в схеме &quot;ИЛИ&quot; должны быть подключены к общему проводу схемы, как это показано на рисунке 2.</p> <p>Рисунок 2. Схема &quot;НЕ&quot;, реализованная на элементе &quot;2И-НЕ&quot;.<br />2. Законы отрицания<br />a. Закон дополнительных элементов.<br />&#160; &#160;<br />Выражения этого закона широко используется для минимизации логических схем. Если удаётся выделить из общего выражения логической функции такие подвыражения, то можно сократить необходимое количество входов элементов цифровой схемы, а иногда и вообще свести всё выражение к логической константе.<br />a. Двойное отрицание<br />&#160; &#160; &#160; &#160;<br />b. Закон отрицательной логики<br /> </p> <p>Закон отрицательной логики справедлив для любого числа переменных. Этот закон позволяет реализовывать логическую функцию &quot;И&quot; при помощи логических элементов “ИЛИ” и наоборот: реализовывать логическую функцию “ИЛИ” при помощи логических элементов “И”. Это особенно полезно в ТТЛ схемотехнике, так как там легко реализовать логические элементы “И”, но при этом достаточно сложно логические элементы “ИЛИ”. Благодаря закону отрицательной логики можно реализовывать элементы “ИЛИ” на логических элементах “И”. На рисунке 3 показана реализация логического элемента “2ИЛИ” на элементе “2И-НЕ” и двух инверторах.</p> <p>Рисунок 3. Логический элемент “2ИЛИ”, реализованный на элементе “2И-НЕ” и двух инверторах.<br />То же самое можно сказать и о схеме монтажного “ИЛИ”. В случае необходимости его можно превратить в монтажное “И”, применив инверторы на входе и выходе этой схемы.<br />3. Комбинационные законы.<br />Комбинационные законы алгебры логики во многом соответствуют комбинационным законам обычной алгебры, но есть и отличия.<br />a. закон тавтологии (многократное повторение)<br />X+X+X+X=X<br />X*X*X*X=X<br />Этот закон позволяет использовать логические элементы с большим количеством входов в качестве элементов с меньшим количеством входов. Например, можно реализовать двухвходовую схему 2И на элементе 3И, как это показано на рисунке 4:</p> <p>Рисунок 4. Схема “2И-НЕ”, реализованная на элементе “3И-НЕ”.<br />или использовать схему 2И-НЕ в качестве обычного инвертора, как это показано на рисунке 5:</p> <p>Рисунок 5. Схема “НЕ”, реализованная на элементе “2И-НЕ”.<br />Однако следует предупредить, что объединение нескольких входов увеличивает входные токи логического элемента и его ёмкость, что увеличивает ток потребления предыдущих элементов и отрицательно сказывается на быстродействии цифровой схемы в целом.<br />Для уменьшения числа входов в логическом элементе лучше воспользоваться законом одинарных элементов, как это было показано выше.<br />a. закон переместительности<br />A+B+C+D=A+C+B+D<br />b. закон сочетательности<br />A+B+C+D=A+(B+C)+D=A+B+(C+D)<br />c. закон распределительности<br />X1(X2+X3)= X1X2 + X1X3<br />X1+X2X3=(X1+X2)(X1+X3)=/ докажем это путём раскрытия скобок/= X1X1+ X1X3+ X1X2+ X2X3= X1(1+X3+X2)+ X2X3= X1+X2X3<br />4. Правило поглощения (одна переменная поглощает другие)<br />X1+X1X2 X3 =X1(1+X2 X3)=X1<br />5. Правило склеивания (выполняется только по одной переменной)</p> <p>3)<br />Поразрядные операции<br />К поразрядным операциям относятся: операция поразрядного логического &quot;И&quot; (&amp;), операция поразрядного логического &quot;ИЛИ&quot; (|), операция поразрядного &quot;исключающего ИЛИ&quot; (^).</p> <p>Операнды поразрядных операций могут быть любого целого типа. При необходимости над операндами выполняются преобразования по умолчанию, тип результата - это тип операндов после преобразования.</p> <p>Операция поразрядного логического И (&amp;) сравнивает каждый бит первого операнда с соответствующим битом второго операнда. Если оба сравниваемых бита единицы, то соответствующий бит результата устанавливается в 1, в противном случае в 0.</p> <p>Операция поразрядного логического ИЛИ (|) сравнивает каждый бит первого операнда с соответствующим битом второго операнда. Если любой (или оба) из сравниваемых битов равен 1, то соответствующий бит результата устанавливается в 1, в противном случае результирующий бит равен 0.</p> <p>Операция поразрядного исключающего ИЛИ (^) сравнивает каждый бит первого операнда с соответствующими битами второго операнда. Если один из сравниваемых битов равен 0, а второй бит равен 1, то соответствующий бит результата устанавливается в 1, в противном случае, т.е. когда оба бита равны 1 или 0, бит результата устанавливается в 0.<br />4)<br />5)<br />6)<br />1. Функции алгебры логики (ФАЛ).<br />ФАЛ называются функция&#160; , аргументы и значения которой определены на множестве {0, 1}. Как обычно, сложная ФАЛ может быть определена как композиция из простых применением операции подстановки. Скобочная запись такой композиции называется формулой, которая строится по принятым в математике законам.<br />Пример:&#160; . Скобочная формула отражает структуру подстановок из составляющих функций f1, f2, f3, f4 .<br />В связи с тем, что число наборов значений аргументов конечно, ФАЛ удобно задавать таблицей.<br />Таблица истинности ФАЛ состоит из всех возможных наборов значений аргументов. Каждый набор отмечается либо «1» (единичные наборы), либо «0» (нулевые наборы). Эти отметки суть значения функции. Очевидно, что количество наборов значений ФАЛ – 2п, а количество различных функций на этих наборах&#160; (количество&#160; различных разметок) –&#160; &#160;(см. например, табл. 1).<br />Особое место занимают бинарные ФАЛ (функции от двух аргументов), из них с помощью операции подстановок могут быть образованы функции от любого количества аргументов. В табл. 1 приведен полный список таких функций, их названия, а также названия операций, определяющих эти функции.<br /><br /><br /></p> <p>Табл. 1. Таблица бинарных функций алгебры логики.</p> <p> х1 0 1 0 1 Знак<br />операции Наименование<br />функции Свойства<br /> х2 0 0 1 1&#160; &#160; <br />0 0 0 0 0 <br />Конст. «0» </p> <p>1 0 0 0 1 <br />&amp;;•; &#61516; Конъюнкция, логич. умнож.</p> <p>2 0 0 1 0 х1 &#61612; х2<br />&#61644; Запрет х2<br />Защелка х2 &#160; наддув воздуха в помещении<br />&#160; дверь&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; х2=0&#160; &#160; &#160;х2=0&#160; &#160;х2=1&#160; х2=1<br /></p> <p>&#160; &#160;окно&#160; &#160; &#160; &#160;х1=0&#160; &#160; х1=1&#160; &#160; &#160;х1=0&#160; &#160; &#160; х1=1<br />3 0 0 1 1 х2&#160; &#160; х2<br />4 0 1 0 0 х2 &#61612; х1 Запрет х1<br />Защелка х1 </p> <p>5 0 1 0 1 х1&#160; &#160; х1<br />6 0 1 1 0 <br />Слож. по<br />mod 2 </p> <p>7 0 1 1 1 <br />Дизъюнкция логич. слож. </p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; Продолжение табл. 1<br />8 1 0 0 0 <br />Стрелка Пирса функция Даггера </p> <p>9 1 0 0 1 <br />Эквиваленция совпадение </p> <p>10 1 0 1 0 <br />&#61689; Отрицание<br />х1 <br /> </p> <p>11 1 0 1 1 <br />Импликация следование <br />«из х1 след. х2» <br /> </p> <p>12 1 1 0 0 <br />Отрицание<br />х2 </p> <p>13 1 1 0 1 <br />Импликация<br />« из х2 след. х1» </p> <p>14 1 1 1 0 <br />Штрих Шеффера </p> <p>15 1 1 1 1 F15 = 1 Конст. «1» </p> <p>2. Алгебра логики и эквивалентные преобразования ФАЛ.</p> <p>Алгебра логики представляет собой перечень свойств операций &amp;, V, &#61689;, заданных через соотношения эквивалентностей.<br />1) Коммутативность&#160; &#160;<br />&#160; &#160; &#160; <br />2) Ассоциативность&#160; <br />&#160; &#160; &#160; <br />3) Дистрибутивность&#160; &#160;</p> <p>4) Идемпотентность&#160; ;&#160; &#160;<br />5) Закон исключенного третьего (свойства «&#61689;»)</p> <p>&#160; &#160; <br />6) Закон Де Моргана&#160; </p> <p>7) Закон поглощения&#160; <br />&#160; &#160; <br />Свойства операций задаются системой эквивалентных преобразований, любая эквивалентность проверяется по таблице. Эта система называется алгеброй логики. Почему логики? На самом деле, все эквивалентности, входящие в алгебру, являются логическими законами.<br />Определение эквивалентности (тождественности функций).<br />Пара функций&#160; &#160;называется эквивалентными, если значения функций совпадают на одинаковых наборах в таблице функций.<br />1) x1&#61671;x2=&#160; &#160; 2) x1&#61613;x2= <br />3) x1&#61671;x1=&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;4) x1&#61671;x1= <br />3. Стандартные формулы представления ФАЛ.</p> <p>1) Любая ФАЛ может быть представлена в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ).<br />&#160; &#160;<br />&#160; – все возможные комбинации расстановок отрицаний&#160; над&#160; переменными (отрицание – &#61555; = 0, нет отрицания – &#61555; = 1)&#160; <br />Очевидно любая расстановка значений&#160; &#160;или 1 даёт конкретную реализацию функций (см. пример) из&#160; .<br />2) Любая ФАЛ может быть представлена в виде совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).</p> <p> …</p> <p>Любая расстановка значений&#160; &#160;или 1 даёт конкретную реализацию функций (см. пример) из&#160; .<br />Пример: Построение СДНФ и СКНФ по таблице истинности функций.<br />а) СДНФ состоит из элементов конъюнкции, соединённых знаком дизъюнкции. В таблице выделяются единичные наборы. Если в наборе&#160; , то в элементарной конъюнкции xi, иначе&#160; , то&#160; .<br />б) СКНФ состоит из элементов дизъюнкций, соединённых знаком конъюнкции. В таблице выделяются нулевые наборы. Если в наборе&#160; , то в элементарной дизъюнкции&#160; , иначе&#160; , то&#160; .<br /><br /><br /><br /></p> <p>Табл.2<br />№ x1 x2 x3 f-<br />0 0&#160; 0&#160; 0 1<br />1 0&#160; 0&#160; 1 0<br />2 0&#160; 1&#160; 0 1<br />3 0&#160; 1&#160; 1 0<br />4 1&#160; 0&#160; 0 0<br />5 1&#160; 0&#160; 1 0<br />6 1&#160; 1&#160; 0 1<br />7 1&#160; 1&#160; 1 1<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /></p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; (0&#160; &#160; 0&#160; &#160; 0)&#160; &#160; &#160;(0&#160; &#160; 1&#160; &#160; 0)&#160; &#160; (1&#160; &#160; 1&#160; &#160; 0)&#160; &#160;(1&#160; &#160; 1&#160; &#160; 1)<br />f (СДНФ)&#160; <br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; (0&#160; &#160; &#160;0&#160; &#160; &#160; 1)&#160; &#160; (0&#160; &#160; &#160;1&#160; &#160; &#160; 1)&#160; &#160;(1&#160; &#160; &#160; 0&#160; &#160; &#160; 0)&#160; &#160;(1&#160; &#160; &#160;0&#160; &#160; &#160; &#160;1)<br />f1 (СКНФ)&#160; <br />3) Любая ФАЛ может быть представлена в виде полинома Жегалкина.</p> <p>&#160; и т.д. все пары переменных<br />……………………………….…..и т.д. все тройки<br />……………………………….…..и т.д.</p> <p>Любая расстановка значений&#160; &#160;или 1 даёт реализацию конкретной функции.<br />Пример: Для функции, заданной табл. 2, полином Жегалкина будет иметь вид:</p> <p>Формы СДНФ, СКНФ, ПЖ суть коды функций. Количество различных кодов, построенных по соответствующим правилам, равно&#160; &#160;и поэтому каждый код является уникальным и соответствует конкретной функции.<br />7)<br />Из множества функционально полных наборов рассмотрим только те, которые имеют наибольшее практическое значение. <br />1. Основная функционально полная система логических функций. Наибольшее распространение получил набор, в состав которого входят три логические функции: <br />•&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;f10 –&#160; инверсия (логическая связь НЕ, логическое отрицание); <br />•&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;f1 – конъюнкция (логическая связь И, логическое умножение), <br />•&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;f7 –&#160; дизъюнкция (логическая связь ИЛИ, логическое сложение). <br />Этот набор получил название функционально полной системы логических функций (ОФПС). Из теоремы о функциональной полноте следует, что основная функционально полная система логических функций является избыточной, так как условиям теоремы отвечают наборы функций f10 и f1 или f10 и f7.&#160; Свойства этих функций были рассмотрены ранее. <br />Из определения представления переключательной функции в виде дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы следует, что эти представления реализуются в основной функционально полной системе логических функций. <br />2. Законы алгебры логики в ОФПС и их следствия. В алгебре логики имеются четыре основных за¬кона, регламентирующих порядок производства операций НЕ, И, ИЛИ в любом логическом выражении: <br />•&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;переместительный (коммутативный); <br />•&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;сочетательный (ассоциативный); <br />•&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;распределительный (дистрибутивный); <br />•&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;инверсии (правило Де Моргана). <br />Переместительный закон. Этот закон справедлив как для дизъюнкции, так и для конъюнкции: <br />x1 &#218;x2 = x2 &#218;x1;&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;x1 &#217;x2 = x2 &#217; x1.&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; (1) <br />Справедливость выражения (5.1) нетрудно доказать простой подста¬новкой в него различных значений x1 и x2. Поскольку любую переста¬новку большего количества слагаемых можно свести к последователь¬ности перестановок слагаемых в отдельных парах, то переместитель¬ный закон будет справедлив при любом числе слагаемых. <br />Сочетательный закон. Этот закон, так же как и переместительный, является симметричным, т. е. справедливым и для дизъюнкции, и для конъюнкции: <br />x1 &#218;x2 &#218;x3 = x1&#218;(x2 &#218;x3) = (x1 &#218;x2)&#218;x3= x2&#218;( x1 &#218;x3);&#160; &#160; &#160; &#160; (2) <br />x1 &#217;x2 &#217;x3 = x1&#217;x2 &#217;x3) = (x1 &#217;x2)&#217;x3= x2&#217;( x1 &#217;x3). <br />Доказательство этого закона также не представляет никаких труд¬ностей и может быть выполнено простой подстановкой. <br />Распределительный закон. В отличие от обычной алгебры алгебра логики симметрична. В ней справедливы два распределительных закона: <br />для логического умножения относительно логического сложения (рас¬пределительный закон 1-го рода) и для логического сложения относи¬тельно логического умножения (распределительный закон 2-го рода). <br />1. Распределительный закон 1-го рода записывается следующим образом: <br />(x1&#218;x2)&#217;x3=(x1&#217;x3)&#218; ( x2 &#217;x3) .&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; (3) <br />Справедливость формулы (5.3), а также и ее более общего случая, когда в скобках заключена сумма любого количества слагаемых, можно доказать путем установления идентичности условий обращения в 0 или 1 ее левой и правой частей. Условием обращения в нуль левой части выражения (5.3) состоит в том, чтобы нулю равнялся либо один аргумент х3, либо одновременно аргументы x1 и x2. Условия обращения в нуль правой части выражения (5.1)&#160; такие же. Следовательно, распределительный закон 1-го рода справедлив для алгебры логики. <br />2. Распределительный закон 2-го рода имеет вид <br /> (x1&#217;x2)&#218;x3=(x1&#218;x3)&#217; ( x2&#218;x3).&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; (4) <br />Cправедливость формулы (4) (при любом количестве аргументов) нетрудно доказать посредством установления идентичности условий обращения обеих ее частей в единицу. <br />8)<br />Вычислительная техника в настоящее время ворвалась в жизнь каждого<br />человека. Появление микропроцессоров произвело переворот не только в<br />промышленности, но и в повседневной жизни.<br />Микропроцессоры сегодня используются в банкоматах и мобильных<br />телефонах, стиральных машинах и СВЧ-печах, электронных весах и<br />термометрах, автоматах по продаже напитков и железнодорожных<br />билетов и многих других бытовых устройствах. Огромное значение имеет<br />микропроцессорная техника для современного производства. Это станки с<br />программным управлением и обрабатывающие центры, промышленные роботы<br />и автоматические технологические линии. Требуется все больше специалистов,<br />способных внедрять и обслуживать новейшую технику.<br />Сведения об отдельных элементах вычислительной техники учащиеся<br />получают из курсов физики, информатики, трудового обучения. Данная<br />программа предназначена для учащихся, желающих получить знания,<br />необходимые для понимания функций микропроцессорных управляющих<br />систем, изучить устройство и принцип действия основных элементов цифровой<br />электроники, научиться составлять из них узлы и схемы, которые являются<br />основой вычислительной техники.<br />Курс по выбору «Основы вычислительной техники» рекомендуется<br />учащимся 11-х классов с 12-летним сроком обучения. Программа курса<br />рассчитана на 34 часа (1 час в неделю). По усмотрению учителя сроки изучения<br />курса могут быть передвинуты.<br />Данный курс расширяет базовый курс школьной информатики, носит<br />характер предпрофессиональной подготовки и знакомит учащихся с основами<br />вычислительной техники. Предлагаемые темы достаточно сложны, вместе<br />с тем, содержание курса позволяет любому ученику активно включиться в<br />учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. История развития микропроцессоров. Типы процессоров. Принципы<br />работы микропроцессора (МП). Оперативное запоминающее устройство (ОЗУ).<br />Арифметико-логическое устройство (АЛУ).<br />Команды микропроцессора. Организация памяти. Кодирование команд.<br />Регистры процессора. Работа со стековой памятью. Способы адресации.<br />Машинные языки. Синтаксис ассемблера. Структура программы на языке<br />ассемблера. Команды и директивы. Директивы описания данных. Разработка<br />программы на языке ассемблера: этапы написания и отладки программы.<br />Основные команды МП: команды обмена данными, арифметические<br />команды,<br />логические<br />и<br />команды<br />сдвига.<br />Команды<br />управления.<br />Программирование типовых управляющих структур.<br />Система прерываний и организация ввода-вывода.<br />Логические элементы — устройства, предназначенные для обработки информации в цифровой форме (последовательности сигналов высокого — «1» и низкого — «0» уровней в двоичной логике, последовательность &quot;0&quot;, &quot;1&quot; и &quot;2&quot; в троичной логике, последовательности &quot;0&quot;, &quot;1&quot;, &quot;2&quot;, &quot;3&quot;, &quot;4&quot;, &quot;5&quot;, &quot;6&quot;, &quot;7&quot;, &quot;8&quot;и &quot;9&quot; в десятичной логике). Физически логические элементы могут быть выполнены механическими, электромеханическими (на электромагнитных реле), электронными (на диодах и транзисторах), пневматическими, гидравлическими, оптическими и др.<br />С развитием электротехники от механических логических элементов перешли к электромеханическим логическим элементам (на электромагнитных реле), а затем к электронным логическим элементам на электронных лампах, позже - на транзисторах. После доказательства в 1946 г. теоремы Джона фон Неймана о экономичности показательных позиционных систем счисления стало известно о преимуществах двоичной и троичной систем счисления по сравнению с десятичной системой счисления. От десятичных логических элементов перешли к двоичным логическим элементам. Двоичность и троичность позволяет значительно сократить количество операций и элементов, выполняющих эту обработку, по сравнению с десятичными логическими элементами.<br />Логические элементы выполняют логическую функцию (операцию) с входными сигналами (операндами, данными).<br />Всего возможно&#160; &#160;логических функций и соответствующих им логических элементов, где&#160; &#160;- основание системы счисления,&#160; &#160;- число входов (аргументов),&#160; &#160;- число выходов, т.е. бесконечное число логических элементов. Поэтому в данной статье рассматриваются только простейшие и важнейшие логические элементы.<br />Всего возможны&#160; &#160;двоичных двухвходовых логических элементов и&#160; &#160;двоичных трёхвходовых логических элементов (Булева функция).<br />Кроме 16 двоичных двухвходовых логических элементов и 256 трёхвходовых двоичных логических элементов возможны 19 683 двухвходовых троичных логических элемента и 7 625 597 484 987 трёхвходовых троичных логических элементов (троичные функции).<br />Логические операции (булева функция) своё теоретическое обоснование получили в алгебре логики.<br />Логические операции с одним операндом называются унарными, с двумя — бинарными, с тремя — тернарными (триарными, тринарными) и т. д.<br />Из&#160; &#160;возможных унарных операций с унарным выходом интерес для реализации представляют операции отрицания и повторения, причём, операция отрицания имеет большую значимость, чем операция повторения, так как повторитель может быть собран из двух инверторов, а инвертор из повторителей не собрать.<br />[править]Отрицание, НЕТ, НЕ<br /> </p> <p>Инвертор, НЕ<br />A B = A<br />0 1<br />1 0<br />Мнемоническое правило для отрицания звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на входе «0»,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на входе «1»<br />[править]Повторение, ДА<br /> </p> <p>Повторитель (буфер,) ДА<br />A B = A<br />0 0<br />1 1<br />Преобразование информации требует выполнения операций с группами знаков, простейшей из которых является группа из двух знаков. Оперирование с большими группами всегда можно разбить на последовательные операции с двумя знаками.<br />Из&#160; &#160;возможных бинарных логических операций с двумя знаками c унарным выходом интерес для реализации представляют 10 операций, приведённых ниже.<br />[править]Конъюнкция (логическое умножение). Операция 2И. Функция min(A,B)<br /> </p> <p>2И<br />A B f(AB)<br />0 0 0<br />1 0 0<br />0 1 0<br />1 1 1<br />Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «1»,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «0»<br />[править]Дизъюнкция (логическое сложение). Операция 2ИЛИ. Функция max(A,B)<br /> </p> <p>2ИЛИ<br />A B f(AB)<br />0 0 0<br />1 0 1<br />0 1 1<br />1 1 1<br />Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «1»,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «0»<br />[править]Инверсия функции конъюнкции. Операция 2И-НЕ (штрих Шеффера)<br /> </p> <p>2И-НЕ<br />A B f(AB)<br />0 0 1<br />0 1 1<br />1 0 1<br />1 1 0<br />Мнемоническое правило для И-НЕ с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «0»,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «1»<br />[править]Инверсия функции дизъюнкции. Операция 2ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса)<br /> </p> <p>2ИЛИ-НЕ<br />A B f(AB)<br />0 0 1<br />0 1 0<br />1 0 0<br />1 1 0<br />Мнемоническое правило для ИЛИ-НЕ с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на всех входах действуют «0»,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе действует «1»<br />[править]Эквивалентность (равнозначность), 2ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ_ИЛИ-НЕ<br />A B f(AB)<br />0 0 1<br />0 1 0<br />1 0 0<br />1 1 1<br />Мнемоническое правило эквивалентности с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на входа действует четное количество «1»,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на входа действует нечетное количество «1»<br />[править]Сложение по модулю 2 (2Исключающее_ИЛИ, неравнозначность). Инверсия равнозначности.<br /> </p> <p>В англоязычной литературе 2XOR.<br />A B f(AB)<br />0 0 0<br />0 1 1<br />1 0 1<br />1 1 0<br />Мнемоническое правило для суммы по модулю 2 с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на входа действует нечётное количество «1»,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на входа действует чётное количество «1»<br />[править]Импликация от A к B (инверсия декремента)<br />A B f(AB)<br />0 0 1<br />0 1 1<br />1 0 0<br />1 1 1<br />Мнемоническое правило для инверсии декремента звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;B&quot; меньше &quot;А&quot;,<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;B&quot; больше либо равно &quot;А&quot;<br />[править]Импликация от B к A (инверсия инкремента)<br />A B f(AB)<br />0 0 1<br />0 1 0<br />1 0 1<br />1 1 1<br />Мнемоническое правило для инверсии инкремента звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;B&quot; больше &quot;А&quot;,<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;B&quot; меньше либо равно &quot;А&quot;<br />[править]Декремент. Запрет импликации по B. Инверсия импликации от A к B<br />A B f(AB)<br />0 0 0<br />0 1 0<br />1 0 1<br />1 1 0<br />Мнемоническое правило для инверсии импликации от A к B звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;A&quot; больше &quot;B&quot;,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;A&quot; меньше либо равно &quot;B&quot;<br />[править]Инкремент. Запрет импликации по A. Инверсия импликации от B к A<br />A B f(AB)<br />0 0 0<br />0 1 1<br />1 0 0<br />1 1 0<br />Мнемоническое правило для инверсии импликации от B к A звучит так: На выходе будет:<br />&#61607; &quot;1&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;B&quot; больше &quot;A&quot;,<br />&#61607; &quot;0&quot; тогда и только тогда, когда на &quot;B&quot; меньше либо равно &quot;A&quot;<br />Примечание 1. Элементы импликаций не имеют промышленных аналогов для функций с количеством входов, не равным 2.<br />Примечание 2. Элементы импликаций не имеют промышленных аналогов.<br />Этими простейшими логическими операциями (функциями), и даже некоторыми их подмножествами, можно выразить любые другие логические операции. Такой набор простейших функций называется функционально полным логическим базисом. Таких базисов 4:<br />&#61607; И, НЕ (2 элемента)<br />&#61607; ИЛИ, НЕ (2 элемента)<br />&#61607; И-НЕ (1 элемент)<br />&#61607; ИЛИ-НЕ (1 элемент).<br />Для преобразования логических функций в один из названых базисов необходимо применять Закон (правило) де-Моргана.<br /> </p> <p>Упрощённая схема двухвходового элемента И-НЕ ТТЛ .<br />9)<br />Полусумматор — логическая схема, имеющая два входа и два выхода (двухразрядный сумматор, бинарный сумматор). Полусумматор используется для построения двоичных сумматоров. Полусумматор позволяет вычислять сумму A+B, где A и B — это разряды двоичного числа, при этом результатом будут два бита S,C, где S — это бит суммы по модулю, а C — бит переноса. Однако, как можно заметить, для построения схемы двоичного сумматора (трёхразрядный сумматор, тринарный сумматор) необходимо иметь элемент, который суммирует три бита A, B и C, где C — бит переноса из предыдущего разряда, таким элементом является полный двоичный сумматор, который как правило состоит из двух полусумматоров и логического элемента 2ИЛИ.</p> <p>Полусумматор - составная часть сумматора. На схеме изображен полусумматор, состоящий из вентилей ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ и И.<br />S (сумма) равна единицы, если только одно значение (a или b) равно единице. Если значения обоих входных переменных совпадают, то сумма текущего разряда равна нулю.<br />P (перенос) равен единице, если оба входных значения равны единицы. Во всех остальных случаях значение переноса равно нулю.<br />сумматор<br />Он (рис. 4) имеет три входа: a, b — для двух слагаемых и p — для переноса из предыдущего (более младшего) разряда и два выхода: S — сумма, P — перенос в следующий (более старший) разряд. Обозначением полного двоичного сумматора служат буквы SM. Работу его отражает таблица истинности 3 (табл. 3).</p> <p>Рис. 4<br />Таблица 3<br />№ наб. a b p P S<br />0 0 0 0 0 0<br />1 0 0 1 0 1<br />2 0 1 0 0 1<br />3 0 1 1 1 0<br />4 1 0 0 0 1<br />5 1 0 1 1 0<br />6 1 1 0 1 0<br />7 1 1 1 1 1<br />Отметим два момента. Первый: в табл. 2 и 3 выходные сигналы P и S не случайно расположены именно в такой последовательности. Это подчеркивает, что PS рассматривается как двухразрядное двоичное число, например, 1 + 1 = 210 = 102 , то есть P = 1, а S = 0 или 1 + 1 + 1 = 310 = 112, то есть P = 1, а S = 1. Второй: выходные сигналы P и S полного двоичного сумматора относятся к классу самодвойственных функций алгебры логики. Самодвойственными называют функции, инвертирующие своё значение при инвертировании всех переменных, от которых они зависят. Обратите внимание, что P и S для четвертьсумматора и полусумматора не являются самодвойственными функциями! Преимущества, вытекающие из этого свойства полного двоичного сумматора, будут рассмотрены при анализе возможностей ИС типа 155ИМ1.<br />Уравнения, описывающие работу полного двоичного сумматора, представленные в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), имеют вид:<br />&#160; (6)<br />Уравнение для переноса может быть минимизировано:<br />P = ab + ap + bp.(7)<br />При практическом проектированиии сумматора уравнения (6) и (7) могут быть преобразованы к виду, удобному для реализации на заданных логических элементах с некоторыми ограничениями (по числу логических входов и др.) и удовлетворяющему предъявляемым к сумматору требованиям по быстродействию.<br />Например, преобразуем уравнения (6) следующим образом:<br />&#160; (8)<br />Из выражений (8) следует, что полный двоичный сумматор может быть реализован на двух полусумматорах и одном двухвходовом элементе ИЛИ. Соответствующая схема приведена на рис. 5.</p> <p>Рис. 5<br />Из выражения (8) для S также следует:<br />S = a Е b Е p.(9)<br />Примечание. Так как операция Е в выражении (9) коммутативна (переменные можно менять местами), то следует, что три входа полного двоичного сумматора абсолютно равноправны и на любой из них можно подавать любую входную переменную. Это полезно помнить, разводя печатные платы, на которых установлены ИС сумматоров.<br />К настоящему времени разработано большое число схем сумматоров. Доказано (нашим отечественным ученым Вайнштейном), что при использовании только одного инвертора нельзя реализовать полный двоичный сумматор со сложностью Pкв &lt; 16, а при двух инверторах — Pкв &lt; 14, где Pкв — вес по Квайну, используемый как оценка сложности любых комбинационных схем. Pкв — это общее число всех входов всех логических элементов схемы без учёта инверторов.</p> <p>Рис. 6<br />Покажем, используя два метода, как была получена рациональная (с использованием только одного инвертора) схема полного двоичного сумматора, явившаяся основой схем ИС сумматоров типа 7480, 155ИМ1 и др.<br />Первый метод основан на использовании значения выходного переноса P как вспомогательной переменной при определении выходной суммы S (табл. 4). В табл. 4 при наборах переменных, являющихся нереальными (например, единичное значение переноса при нулевых значениях всех входных переменных), поставлены безразличные значения (крестик) для функции S, которые можно доопределять произвольным образом.<br />Таблица 4<br />№ наб. a b p P S<br />0 0 0 0 0 0<br />1 0 0 0 1 x<br />2 0 0 1 0 1<br />3 0 0 1 1 x<br />4 0 1 0 0 1<br />5 0 1 0 1 x<br />6 0 1 1 0 x<br />7 0 1 1 1 0<br />8 1 0 0 0 1<br />9 1 0 0 1 x<br />10 1 0 1 0 x<br />11 1 0 1 1 0<br />12 1 1 0 0 x<br />13 1 1 0 1 0<br />14 1 1 1 0 x<br />15 1 1 1 1 1<br />Из карты Карно для функции S (рис. 6) следует:<br />S = abp + Pa + Pb + Pp = = abp + P(a + b + p). (10)<br />Второй метод основан на применении диаграмм Венна. На рис. 7а показана диаграмма Венна для трех переменных а, b, p; области, ограниченные окружностями, соответствуют переменным а, b, p, а области, обозначенные цифрами от 0 до 7 — соответствующим конъюнкциям (например, 5 = abp). Область, заштрихованная на рис. 7б, очевидно, соответствует функции P = ab + ap + bp. Функция S представлена заштрихованной областью на рис. 7в. Её можно представить суммой произведения функции a + b + p (рис. 7г) на функцию ab + ap + bp (рис. 7д) и функции abp (рис. 7е). Очевидно, что в этом случае получается выражение для S, аналогичное уравнению (10).</p> <p>Рис. 7<br />Схема сумматора, реализованного по уравнениям (7) и (10), приведена на рис. 8а. В данной схеме используются многовходовые логические элементы И и ИЛИ. Если использовать только двухвходовые элементы, то получаются схемы, приведённые на рис. 8б,в.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 14 Jan 2011 08:30:51 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=26#p26 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=25#p25 <p>1)<br />Сходящиеся последовательности и их свойства.</p> <p>Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn&#8722;a}является бесконечно малой. </p> <p>Если последовательность {xn&#8594;a} является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так:limn&#8594;&#8734;xn=a или xn&#8594;a при n&#8594;&#8734;</p> <p>Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа &#949; найдется номер N(&#949;) такой, что при всехn&gt;Nэлементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству &#8739;xn&#8722;a&#8739;&lt;&#949;<br />При этом число a называется пределом последовательности.</p> <p>Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме &#8722;&#949;&lt;xn&#8722;a&lt;+&#949; или, a&#8722;&#949;&lt;xn&lt;a+&#949;. (5')</p> <p>Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число a, что в любой &#949;-окрестности точки aнаходятся все элементы последовательности {xn} начиная с некоторого номера (зависящего от &#949;).</p> <p>Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.</p> <p>Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности {xn}. xn=a+an и xn=b+bn, где {an} и {bn} - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим an&#8722;bn=b&#8722;a. Последовательность {an&#8722;bn} является бесконечно малой, а в силу равенства an&#8722;bn=b&#8722;a все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числуb&#8722;a. Число b&#8722;a равно нулю, т. е. b=a. Теорема доказана.</p> <p>Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.<br />Доказательство. Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число &#949; и по нему номер N такой, что &#8739;xn&#8722;a&#8739;&lt;&#949; при n&#8805;N или, a&#8722;&#949;&lt;xn&lt;a+&#949;при n&#8805;N. Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: &#8739;a&#8722;&#949;&#8739;,&#8739;a+&#949;&#8739;,&#8739; &#8739;&#160; x1&#8739; &#8739;&#160; ,&#8739; &#8739;&#160; x2&#8739; &#8739;&#160; ,...,&#8739; &#8739;&#160; хN&#8722;1&#8739; &#8739;&#160; . Тогда, очевидно, &#8739;xn&#8739;&#8804;A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.</p> <p>Следствие 1. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, посл. 0,1,0,1,...,0,1, ... является <br />ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим n-й член этой последовательности символом xn и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу a. Но тогда каждая из последовательностей {xn+1&#8722;a} и {xn&#8722;a} являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей {xn+1&#8722;xn} а этого быть не может в силу того, что &#8739; &#8739;&#160; xn+1&#8722;xn&#8739; &#8739;&#160; =1 для всех номеров n.</p> <p>Последовательность {an} называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа &#949; найдется номер N(&#949;) такой, что при всех n&gt;Nэлемент an последовательности удовлетворяет неравенству &#8739;an&#8739;&lt;&#949;.</p> <p>Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}.</p> <p>Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу того что xn=a+an будут справедливы соотношения <br />xn=a+an,yn=b+bn, (6),<br />в которых anи bn представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей {an}и {bn}. Из (6) вытекает, что(xn+yn)&#8722;(a&#8722;b)=an+bn. (7)</p> <p>Т.к. сумма {an+bn} двух бесконечно малых последовательностей {an} и {bn} представляет собой бесконечно малую последовательность, то из соотношения (7) вытекает в силу определения, что последовательность {xn+yn} сходится и вещественное число a+b является ее пределом. Теорема доказана.</p> <p>Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn}</p> <p>Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3, только вместо соотношения (7) мы получим соотношение (xn&#8722;yn)&#8722;(a&#8722;b)=an&#8722;bn.</p> <p>Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}.</p> <p>Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn}сходятся к пределам a и bсоответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим<br />xn•yn=a•b+abn+ban+an•bn или, xnyn&#8722;a•b=abn+ban+an•bn (8)</p> <p>Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn}&#160; последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.</p> <p>Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.</p> <p>Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам a и bсоответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n&gt;N элементы yn нe обращаются в нуль, определена последовательность {1yn} и эта последовательность является ограниченной. Начиная с номера N, мы и будем <br />рассматривать частное {ynxn} . В силу определения достаточно доказать, что последовательность {ynxn&#8722;ba} является бесконечно малой. Будем исходить из тождества ynxn&#8722;ba=yn•bxn•b&#8722;yn•a (9)</p> <p>Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то<br />n•b&#8722;yn•a=(a+an)•bn&#8722;(b+bn)•an=anb&#8722;bna<br />Подставляя (10) в (9), получим ynxn&#8722;ba=1yn(an&#8722;babn)&#160; (11)</p> <p>Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность {1yn}&#160; (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность {an&#8722;babn}&#160; (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.</p> <p>2)<br />Дадим теперь определение точек разрыва функции.<br />&#160; &#160; &#160; &#160; Определение 3.2&#160; &#160;Точка&#160; &#160;называется точкой разрыва функции&#160; , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки&#160; &#160;(то есть определена на некотором интервале, для которого&#160; &#160;служит внутренней точкой, но в самой точке&#160; , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:<br />1) не существует предела слева&#160; ;<br />2) не существует предела справа&#160; ;<br />3) пределы слева&#160; &#160;и справа&#160; существуют, но не равны друг другу:&#160; ;<br />4) пределы слева&#160; &#160;и справа&#160; существуют и равны друг другу:&#160; , но не совпадают со значением функции в точке&#160; :&#160; , или функция&#160; не определена в точке&#160; .<br />Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва&#160; называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки&#160; &#160;называется разрывом первого рода в точке&#160; ; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.<br />Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва&#160; &#160;называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке&#160; .&#160; &#160; &#160;<br />Итак, если функция&#160; &#160;имеет разрыв первого рода в точке&#160; , то существуют, как часто говорят, значения функции &quot;на берегах разрыва&quot;:&#160; &#160;и&#160; , но точка&#160; &#160;не является точкой непрерывности. </p> <p>Рис.3.2.&#160; -- точка разрыва первого рода<br /></p> <p>Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке&#160; может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно&#160; &#160;будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке&#160; , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию&#160; &#160;в точке&#160; , положив&#160; , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке&#160; &#160;и разрыв в точке&#160; исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый. </p> <p>Рис.3.3.&#160; -- точка устранимого разрыва<br /></p> <p>Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки&#160; , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке. <br />&#160; &#160; &#160;<br />Рис.3.4.&#160; -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Sat, 08 Jan 2011 21:01:43 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=25#p25 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=24#p24 <p>1)<br />Бино&#769;м Нью&#769;то&#769;на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид<br /> ,<br />где&#160; &#160;— биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.<br />В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).<br />e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число eназывают числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значение[1]:<br />e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757… (последовательность A001113 в OEIS)<br />Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.<br />2)<br />Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.<br />Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.<br />Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.<br />Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 &#61646; [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) &#8805; f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) &#8804; f(x).<br />Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.<br />Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.<br />Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.<br />Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Sat, 08 Jan 2011 20:57:31 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=24#p24 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=23#p23 <p>1)<br />В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.<br />Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.<br />Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространство можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.<br />Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.<br />Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.<br />&#160; &#160; Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.<br />Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.</p> <p>&#160; &#160; Определение:&#160; &#160; &#160; &#160;Последовательность {xn} называется сходящейся,&#160; если<br />существует&#160; такое&#160; число&#160; а,&#160; &#160;что&#160; &#160;последовательность&#160; &#160; {xn-а}&#160; &#160;является<br />бесконечно малой. При этом число а&#160; называется&#160; пределом&#160; последовательности<br />{xn}.</p> <p>&#160; &#160; В&#160; соответствии&#160; &#160;с&#160; &#160;этим&#160; &#160;определением&#160; &#160;всякая&#160; &#160;бесконечно&#160; &#160;малая<br />последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.</p> <p>&#160; &#160; Можно, также, дать еще одно определение сходящейся&#160; последовательности:<br />Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует&#160; такое&#160; число<br />а, что для любого положительного числа ( можно указать номер&#160; N&#160; такой,&#160; что<br />при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;|xn-a|&lt;(.</p> <p>При этом число а называется пределом последовательности.</p> <p>2)<br />Производные высших порядков<br />&#160; Ясно, что производная</p> <p>функции y =f (x) есть также функция от x:<br />y' =f ' (x)<br />.<br />&#160; Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функцииf(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением</p> <p>можем написать</p> <p>Пример.&#160; &#160; </p> <p>&#160; Очень удобно пользоваться также обозначением<br />&#160; ,<br />указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.<br />&#160; Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x)третьего порядка и обозначается символами<br /> .<br />&#160; Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами<br /> </p> <p>Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай n-кратного дифференцирования.<br />Пусть функции f(z) и g(z) — n раз дифференцируемые функции, тогда<br />&#160; где&#160; &#160;— биномиальные коэффициенты.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Sat, 08 Jan 2011 20:41:18 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=23#p23 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=22#p22 <p>1)<br />В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.<br />Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.<br />Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространство можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.<br />Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.<br />Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.<br />2)<br />Экстре&#769;мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Вматематическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).<br />Необходимые условия существования локальных экстремумов<br />&#61607; Лемма Ферма. Пусть функция&#160; &#160; (f пернадлежит D(x0)) дифференцируема в точке локального экстремума x0. Тогда:<br />f'(x0) = 0.<br />&#61607; Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.<br />Достаточные условия существования локальных экстремумов<br />&#61607; Пусть функция&#160; &#160;непрерывна в&#160; &#160;и существуют конечные или бесконечные односторонние производные&#160; . Тогда при условии</p> <p>x0 является точкой строгого локального максимума. А если</p> <p>то x0 является точкой строгого локального минимума.<br />Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0<br />&#61607; Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0. Тогда при условии<br />&#160; и&#160; <br />x0 является точкой локального максимума. А если<br />&#160; и&#160; <br />то x0 является точкой локального минимума.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Sat, 08 Jan 2011 20:36:29 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=22#p22 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=21#p21 <p>1)<br />В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.<br />Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.<br />Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространство можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.<br />Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.<br />Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.<br />Если последовательность имеет предел, то он единственный.</p> <p>Доказательство.</p> <p>Пусть последовательность xn одновремменно имеет два предела, A и B, неравных между собой. Тогда по определению предела, для любого &#949;&gt;0, а в том числе и для верно, что начиная с некоторого n1 вся последовательность xn лежит в &#949;-окресности A и начиная с некоторого n2 вся последовательность xn лежит в &#949;-окресности B. Тогда пуская n&#949; = max(n1, n2), а тогда начиная с этого n&#949; последовательнось обязана лежать в &#949;-окресности двух этих точек одновремменно, что не возможно, так как &#949;-окресности точек A и B не пересекаются.</p> <p>Значит, такое невозможно, и последовательность может иметь не более одного предела.</p> <p>Для функций доказывается так же.<br />2)<br /><a href="http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node59.html" rel="nofollow" target="_blank">http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node59.html</a><br />Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при&#160; .<br />1. Рассмотрим функцию&#160; . Все её производные совпадают с ней:&#160; , так что коэффициенты Тейлора в точке&#160; &#160;равны</p> <p>Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:</p> <p>2. Рассмотрим функцию&#160; . Её производные чередуются в таком порядке:</p> <p>а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке&#160; &#160;также возникает повторение:</p> <p>и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами&#160; &#160;равны 1 при&#160; , то есть при&#160; , и&#160; &#160;при&#160; , то есть при&#160; . Таким образом,&#160; &#160;при всех&#160; &#160;и коэффициенты Тейлора равны</p> <p>Получаем формулу Тейлора для синуса:</p> <p>Заметим, что мы можем записать остаточный член&#160; &#160;вместо&#160; (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка&#160; , с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.<br />3. Для функции&#160; &#160;производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке&#160; &#160;имеют то же чередование:</p> <p>&#160; &#160;</p> <p>&#160; &#160;</p> <p>Нетрудно видеть, что&#160; &#160;при&#160; ,&#160; &#160;и&#160; &#160;при&#160; ,&#160; . Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид</p> <p>Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее&#160; &#160;с нулевым коэффициентом.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Sat, 08 Jan 2011 18:03:04 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=21#p21 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=20#p20 <p>1)<br />В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.<br />Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.<br />Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространство можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.<br />Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.<br />Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.</p> <p>по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что<br />lim x&#61614; 0sin x = 0.<br />2)<br />График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.<br />График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.<br />Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то <br />f’’(Xo)=0</p> <p>Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно<br />K=&gt;3&#160; f^(n)=0</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Sat, 08 Jan 2011 17:54:14 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=20#p20 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=19#p19 <p>1)<br />Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.<br />2)<br />Дифференциалом порядка n, где n &gt; 1 от функции&#160; &#160; в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть<br />&#160; &#160;.<br />Дифференциал высшего порядка функции одной переменной<br />Для функции, зависящей от одной переменной&#160; &#160; второй и третий дифференциалы выглядят так:<br /> </p> <p>Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции&#160; &#160;:</p> <p>При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что&#160; &#160;есть произвольное и не зависящее от&#160; &#160;, которое при дифференцировании по&#160; &#160; следует рассматривать как постоянный множитель.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 16:30:38 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=19#p19 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=18#p18 <p>1)<br />Структура сходящихся последовательностей</p> <p>&#160; &#160; Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.<br />Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.</p> <p>&#160; &#160; Определение:&#160; &#160; &#160; &#160;Последовательность {xn} называется сходящейся,&#160; если<br />существует&#160; такое&#160; число&#160; а,&#160; &#160;что&#160; &#160;последовательность&#160; &#160; {xn-а}&#160; &#160;является<br />бесконечно малой. При этом число а&#160; называется&#160; пределом&#160; последовательности<br />{xn}.</p> <p>&#160; &#160; В&#160; соответствии&#160; &#160;с&#160; &#160;этим&#160; &#160;определением&#160; &#160;всякая&#160; &#160;бесконечно&#160; &#160;малая<br />последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.</p> <p>&#160; &#160; Можно, также, дать еще одно определение сходящейся&#160; последовательности:<br />Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует&#160; такое&#160; число<br />а, что для любого положительного числа ( можно указать номер&#160; N&#160; такой,&#160; что<br />при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;|xn-a|&lt;(.</p> <p>При этом число а называется пределом последовательности.</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;Некоторые свойства сходящихся последовательностей:</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство: Пусть a и b&#160; –&#160; пределы&#160; сходящейся&#160; последовательности<br />{xn}.&#160; Тогда,&#160; используя&#160; специальное&#160; &#160;представление&#160; &#160;для&#160; &#160;элементов&#160; &#160;xn<br />сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+(n, xn=b+(n, где (n и (n&#160; –<br />элементы бесконечно малых последовательностей {(n} и {(n}.<br />&#160; &#160; Вычитая данные соотношения, найдем&#160; (n-(n=b-a.&#160; Так&#160; как&#160; все&#160; элементы<br />бесконечно малой последовательности {(n-(n} имеют одно и&#160; то&#160; же&#160; постоянное<br />значение&#160; b-a,&#160; то&#160; (по&#160; теореме:&#160; Если&#160; все&#160; &#160;элементы&#160; &#160;бесконечно&#160; &#160;малой<br />последовательности {(n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0,&#160; т.е.<br />b=a. Теорема доказана.</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность&#160; и&#160; а&#160; –&#160; ее<br />предел. Представим ее в следующем виде:</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;xn=а+(n,</p> <p>где (n- элемент бесконечно&#160; малой&#160; последовательности.&#160; Так&#160; как&#160; бесконечно<br />малая последовательность&#160; {(n}&#160; ограничена&#160; (по&#160; теореме:&#160; Бесконечно&#160; малая<br />последовательность ограничена.), то найдется такое число&#160; А,&#160; что&#160; для&#160; всех<br />номеров n справедливо неравенство |(n|(А. Поэтому | xn | ( |a| + A для&#160; всех<br />номеров n, что и означает ограниченность&#160; последовательности&#160; {xn}.&#160; Теорема<br />доказана.</p> <p>&#160; &#160; Ограниченная последовательность может и не быть&#160; сходящейся.&#160; Например,<br />последовательность&#160; 1,&#160; -1,&#160; 1,&#160; -1,&#160; …&#160; -&#160; ограничена&#160; ,&#160; но&#160; не&#160; &#160;является<br />сходящейся. В&#160; самом&#160; деле,&#160; если&#160; бы&#160; эта&#160; последовательность&#160; сходилась&#160; к<br />некоторому числу а, то каждая&#160; из&#160; последовательностей&#160; &#160;{xn-a}&#160; и&#160; {xn+1-a}<br />являлась бы бесконечно малой. Но&#160; тогда&#160; (по&#160; теореме:&#160; Разность&#160; бесконечно<br />малых последовательностей есть бесконечно малая&#160; последовательность.)&#160; {(xn-<br />a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы&#160; бесконечно&#160; малой,&#160; что&#160; невозможно&#160; т.к.<br />|xn– xn+1| = 2 для любого номера n.</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА:&#160; Сумма&#160; сходящихся&#160; последовательностей&#160; {хn}&#160; и&#160; &#160;{yn}&#160; &#160;есть<br />сходящаяся&#160; последовательность,&#160; предел&#160; &#160;которой&#160; &#160;равен&#160; &#160;сумме&#160; &#160;пределов<br />последовательностей {хn} и {yn}.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство:&#160; &#160;Пусть&#160; &#160;а&#160; &#160; и&#160; &#160; b&#160; &#160; –&#160; &#160; соответственно&#160; &#160; пределы<br />последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;xn=а+(n,&#160; &#160; yn=b+(n,</p> <p>где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn&#160; +<br />yn) - (а + b) =(n+(n.<br />&#160; &#160; Таким образом, последовательность {(хn + yn)&#160; -&#160; (а&#160; +&#160; b)}&#160; бесконечно<br />малая, и поэтому последователдьность&#160; {хn&#160; +&#160; yn}&#160; сходится&#160; и&#160; имеет&#160; своим<br />пределом число а+b. Теорема доказана.</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА: Разность&#160; сходящихся&#160; последовательностей&#160; {хn}&#160; и&#160; {yn}&#160; есть<br />сходящаяся&#160; последовательность,&#160; предел&#160; которой&#160; равен&#160; разности&#160; &#160;пределов<br />последовательностей {хn} и {yn}.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство:&#160; &#160;Пусть&#160; &#160;а&#160; &#160; и&#160; &#160; b&#160; &#160; –&#160; &#160; соответственно&#160; &#160; пределы<br />&#160; &#160; последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;xn=а+(n,&#160; &#160; yn=b+(n,</p> <p>где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn&#160; -<br />yn) - (а - b) =(n-(n.<br />&#160; &#160; Таким образом, последовательность {(хn - yn)&#160; -&#160; (а&#160; -&#160; b)}&#160; бесконечно<br />малая, и поэтому последователдьность&#160; {хn&#160; -&#160; yn}&#160; сходится&#160; и&#160; имеет&#160; своим<br />пределом число а-b. Теорема доказана.</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и&#160; {yn}&#160; есть<br />сходящаяся последовательность, предел которой&#160; равен&#160; произведению&#160; пределов<br />последовательностей {хn} и {yn}.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство:&#160; &#160;Пусть&#160; &#160;а&#160; &#160; и&#160; &#160; b&#160; &#160; –&#160; &#160; соответственно&#160; &#160; пределы<br />последовательностей&#160; &#160; {хn}&#160; &#160; и&#160; &#160; {yn},&#160; &#160; то&#160; &#160; xn=а+(n,&#160; &#160; yn=b+(n&#160; &#160; &#160;и<br />xn(yn=a(b+a((n+b((n+(n((n. Следовательно,</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;xn(yn-а(b=a((n+b((n+(n((n.</p> <p>(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на&#160; бесконечно<br />малую&#160; есть&#160; &#160;бесконечно&#160; &#160;малая&#160; &#160;последовательность.)&#160; &#160;последовательность<br />{a((n+b((n+(n((n} бесконечно малая,&#160; и&#160; поэтому&#160; последовательность&#160; {xn(yn-<br />а(b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn(yn}&#160; сходится&#160; и<br />имеет своим пределом число а(b. Теорема доказана.</p> <p>&#160; &#160; ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный&#160; от&#160; ноля<br />предел b, то, начиная с&#160; некоторого&#160; номера,&#160; определена&#160; последовательность<br />[pic], которая является ограниченной.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство: Пусть [pic]. Так как b(0, то&#160; (&gt;0.&#160; Пусть&#160; N&#160; –&#160; номер,<br />соответствующий этому (, начиная с которого выполняется неравенство:<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;|yn-b|&lt;( или |yn-b|&lt;[pic]</p> <p>из&#160; этого&#160; неравенства&#160; следует,&#160; что&#160; при&#160; &#160;n(N&#160; &#160;выполняется&#160; &#160;неравенство<br />|yn|&gt;[pic]. Поэтому при n(N имеем&#160; [pic].&#160; Следовательно,&#160; начиная&#160; с&#160; этого<br />номера&#160; N,&#160; мы&#160; можем&#160; рассматривать&#160; &#160;последовательность&#160; &#160;[pic],&#160; &#160;и&#160; &#160;эта<br />последовательность ограничена. Лемма доказана.</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn}&#160; и&#160; {yn}&#160; при<br />условии,&#160; &#160;что&#160; &#160;предел&#160; &#160;{yn}&#160; &#160;отличен&#160; &#160;от&#160; &#160; ноля,&#160; &#160; есть&#160; &#160; сходящаяся<br />последовательность,&#160; &#160; предел&#160; &#160; которой&#160; &#160; &#160;равен&#160; &#160; &#160;частному&#160; &#160; &#160;пределов<br />последовательностей {xn} и {yn}.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство: Из доказанной&#160; ранее&#160; леммы&#160; следует,&#160; что,&#160; начиная&#160; с<br />некоторого номера N, элементы последовательности {yn}&#160; отличны&#160; от&#160; ноля&#160; &#160;и<br />последовательность [pic] ограничена. Начиная с&#160; этого&#160; номера,&#160; мы&#160; и&#160; будем<br />рассматривать&#160; последовательность&#160; &#160;[pic].&#160; &#160;Пусть&#160; &#160;а&#160; &#160;и&#160; &#160;b&#160; &#160;–&#160; &#160;пределы<br />последовательностей {xn}&#160; и&#160; {yn}.&#160; Докажем,&#160; что&#160; последовательность&#160; [pic]<br />бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+(n,&#160; &#160;yn=b+(n, то<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;[pic][pic].</p> <p>Так как последовательность&#160; [pic]&#160; ограничена,&#160; а&#160; последовательность&#160; [pic]<br />бесконечно мала,&#160; то&#160; последовательность&#160; [pic]&#160; бесконечно&#160; малая.&#160; Теорема<br />доказана.</p> <p>&#160; &#160; Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися<br />последовательностями приводят к таким же&#160; арифметическим&#160; операциям&#160; над&#160; их<br />пределами.</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности&#160; {xn},&#160; начиная&#160; с<br />некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn(b (xn(b),&#160; то&#160; и&#160; предел&#160; а<br />этой последовательности удовлетворяет неравенству а(b (a(b).</p> <p>&#160; &#160; Доказательство: Пусть все&#160; элементы&#160; xn,&#160; по&#160; крайней&#160; мере&#160; начиная&#160; с<br />некоторого номера, удовлетворяют неравенству&#160; xn(b.&#160; Предположим,&#160; что&#160; а&lt;xn-ab, однако при этом предел а может&#160; оказаться&#160; равным<br />b. Например, если xn=1/n, то xn&gt;0, однако [pic].<br />&#160; &#160; Следствие 1: Если элементы xn и&#160; уn&#160; у&#160; сходящихся&#160; последовательностей<br />{xn} и {yn}, начиная с некоторого номера,&#160; удовлетворяют&#160; неравенству&#160; xn&#160; (<br />уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;[pic].<br />&#160; &#160; Элементы&#160; &#160;последовательности&#160; &#160;{yn-xn}&#160; &#160;неотрицательны,&#160; &#160;а&#160; &#160;поэтому<br />неотрицателен и ее предел [pic]. Отсюда следует, что<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;[pic].</p> <p>&#160; &#160; Следствие 2:&#160; Если&#160; все&#160; элементы&#160; сходящейся&#160; последовательности&#160; {xn}<br />находятся на сегменте [a,b], то и&#160; ее&#160; предел&#160; с&#160; также&#160; находится&#160; на&#160; этом<br />сегменте.<br />&#160; &#160; Это выполняется, так как а(xn(b, то a(c(b.</p> <p>&#160; &#160; ТЕОРЕМА: Пусть {xn}&#160; и&#160; {zn}-&#160; сходящиеся&#160; последовательности,&#160; имеющие<br />общий предел а. Пусть, кроме того, начиная&#160; с&#160; некоторого&#160; номера,&#160; элементы<br />последовательности&#160; &#160;{yn}удовлетворяют&#160; &#160; неравенствам&#160; &#160; xn(yn(zn.&#160; &#160; Тогда<br />последовательность {yn} сходится и имеет предел а.</p> <p>&#160; &#160; Доказательство: достаточно доказать,&#160; что&#160; {yn-a}&#160; является&#160; бесконечно<br />малой.&#160; Обозначим&#160; через&#160; N’&#160; номер,&#160; &#160;начиная&#160; &#160;с&#160; &#160;которого,&#160; &#160;выполняются<br />неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же&#160; номера,<br />будут выполнятся также неравенства xn-а ( yn-а ( zn-а. Отсюда&#160; следует,&#160; что<br />при n(N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству</p> <p>&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;|yn-a| ( max {|xn-a|, |zn-a|}.</p> <p>Так как [pic] и [pic], то для любого (&gt;0&#160; можно&#160; указать&#160; номера&#160; N1&#160; &#160;и&#160; N2<br />такие,&#160; &#160;что&#160; &#160;при&#160; &#160;n(N1&#160; &#160; |xn-a|&lt;(,&#160; &#160;а&#160; &#160;при&#160; &#160;n(N2&#160; &#160; |zn-a|&lt;(.&#160; &#160; Итак<br />последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.</p> <p>&#160; &#160; Итак,&#160; мы&#160; показали&#160; &#160;неравенства,&#160; &#160;которым&#160; &#160;удовлетворяют&#160; &#160;элементы<br />сходящихся&#160; последовательностей,&#160; в&#160; пределе&#160; переходят&#160; в&#160; &#160;соответствующие<br />неравенства для пределов этих последовательностей.<br />2)<br />Дифференци&#769;руемая фу&#769;нкция — это функция, имеющая дифференциал. Дифференцируемая функция может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.<br />Задать функцию в пространстве (Y) означает задать закон, по которому каждой точке &#61550; из рассматриваемой области G пространства (Y) ставится в соответствие точка &#61559; из пространства (Y).<br />Функция<br />&#61559; =f(&#61550; ),<br />где</p> <p>Следовательно, задание функции &#61559; равносильно заданию от четырех действительных переменных:</p> <p>Определение предела и непрерывности функций полностью совпадает с теми, которые даются в плоском случае [7].<br />Естественно пространственную комплексную функцию рассматривать как функцию от двух комплексных переменных (z). Так что, если</p> <p>то функцию целесообразно записать в виде</p> <p>где соответственно будут выполняться соотношения:</p> <p>В комплексном пространстве предел функции f(&#61550; ) при&#160; существует, если</p> <p>и, следовательно,</p> <p>Остается в силе главное условие комплексного анализа (z) о независимости предела от способа приближения точки&#160; . Если предел существует, то при любом способе приближения&#160; &#160;функция f(&#61550; ) будет приближаться к f(&#61550; 0). Если функция определена и в точке &#61550; 0, то она называется непрерывной в точке &#61550; 0.<br />На все эти определения не оказывает влияние особенность комплексного пространства, обусловленная наличием конуса-фильтра дискретных точек делителей нуля.<br />Функция f(&#61550; ), определенная в некоторой точке окрестности точки &#61550; , дифференцируема в этой точке, если существует предел</p> <p>(1.21.)<br />Этот предел является производной функции, определенной в пространстве (&#61550; ).<br />Условия дифференцируемости функции f(&#61550; ) в терминах комплексных функций W и T будут давать:<br />ТЕОРЕМА 1. Пусть функция f(&#61550; )=W(z, &#61555; )+jT(z, &#61555; ) определена в точке &#61550; и некоторой окрестности ее, причем в этой точке функции Т, W дифференцируемы в смысле комплексного переменного (z) и их частные производные непрерывны</p> <p>тогда для дифференцируемости функции в точке &#61550; необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место равенства:<br /> </p> <p>(1.22.)<br />Эти условия являются аналогом условий Коши - Римана.<br />Проведем доказательство условий (1.22.). Пусть существует производная</p> <p>Воспользуемся независимостью предела от способа стремления h к нулю.<br />А. Пусть точка &#61550; +h стремится к точке &#61550; по комплексной оси z=z+iy. Тогда получим</p> <p>Б. Найдем тот же предел в предложении, что точка &#61550; +h стремится к &#61550; по комплексной оси j&#61555; , то есть что t&#61614; 0 и h=j, где i=&#61560; +i&#61544; . Получим</p> <p>Таким образом, имеем выражение для производной в двух видах</p> <p>Комплексы в пространстве равны когда равны попарно составляющие их комплексы. Откуда и вытекают соотношения (1.22.).<br />Теорема может быть написана и в действительных переменных x, y, &#61560; ,&#61544; . Однако этот вариант наиболее прост в изложении и более интересен вариант, когда комплексы представимы в цилиндрических трехмерных а). и четырехмерных координатах. Напомним эти выражения:<br />а)&#160; <br />б)&#160; <br />Произведем вывод необходимых условий в координатах а).<br />Функция f(&#61550; ) записывается в виде</p> <p>Приращение переменной, &#61550; при переходе к точке &#61550; +h выразим как дифференциал вектора &#61550;</p> <p>Раскроем предел (1.21.) для трех специальных случаев стремления h&#61614; 0:</p> <p>Первый случай соответствует пути по радиусу &#61554; при постоянном угле &#61542; к постоянной аппликате по оси i&#61555; ; второй - пути по образующей цилиндрической оси i&#61555; ; третий - пространственной кривой, на которой изменяется только угол &#61542; .<br />Для первого случая &#61542; =const, r = const, имеем<br /> </p> <p>(1.23.)<br />Для второго случая, &#61554; =const, &#61542; =const, имеем<br /> </p> <p>(1.24.)<br />Для третьего случая, &#61554; = const, r = const, имеем<br /> <br /> <br /> </p> <p>(1.25.)<br />Выражения (1.23.), (1.24.), (1.25.) дают значения производной от пространственной комплексной функции f(&#61550; ) в цилиндрических координатах и необходимые условия ее существования<br /> <br /> </p> <p>(1.26.)<br />Приравнивая действительные и комплексные части, получим необходимые условия дифференцирования функции:<br /> </p> <p>(1.27.)<br />Если функция f определена в четырехмерном пространстве, то необходимые условия ее дифференцирования записываются в виде:<br /> </p> <p>(1.28.)<br />Производная<br /> </p> <p>(1.29.)<br />Методика вывода выражений (1.28.), (1.29.) аналогична предыдущей.<br />Условия (1.22.), (1.27.), (1.28.) являются необходимыми условиями существования производной от функции, определенной в комплексном пространстве. Достаточные условиядоказываются как и в обычной (z) плоскости (как в двумерном случае).<br />Замечание. Предел, определяющий наличие производной, необходимо оценить в критических особых точках пространства - в элементах делителей нуля.<br />Если точка &#61550; +h стремится к точке &#61550; по изолированному направлению</p> <p>то<br /> </p> <p>(1.30.)<br />Из выражения (1.30.) видно, что для стремления точки &#61550; +h к точке h по изолированному направлению предел не может существовать, так как его составление теряет смысл, как и в двумерном случае при попытке составить предел, взяв сразу &#61508; z=0. Это - результат свойств делителей нуля, модуль которых равен корню из нуля&#160; <br />В обычной комплексной плоскости (z) при рассмотрении предела естественно выбрасывается &#61508; z=0. В пространстве вычет приращения h=0 влечет за собой и вычет элементов делителей нуля&#160; <br />Однако в пространстве (Y) более правильным будет производная по изолированному направлению.<br />Каждая точка&#160; &#160;комплексного пространства&#160; является исходной точкой изолированного направления&#160; . Геометрически это означает, что к точке&#160; прибавляется точка, не имеющая суммарного радиуса. Если выражение записать в виде&#160; , то получаем перенос изолированного направления в точку&#160; . Для изолированного направления переменная z является модулем этого направления, остается в силе предельный переход<br /> ,&#160; .<br />Для определения производной от функции&#160; &#160;в изолированном направлении, приращение переменной необходимо рассматривать как единый символ . Приращение функции выразится в виде&#160; , так что производная выразится как предел<br /> , или&#160; .<br />Последнее соотношение означает, что для любого&#160; &#160;существует&#160; &#160;такое, что неравенство&#160; &#160;имеет место, если&#160; <br />В этом случае&#160; , где&#160; есть величина более высокого порядка малости, чем&#160; . Справедливо и обратное утверждение<br /> , где A- есть комплексная постоянная, не зависящая от&#160; . В этом случае функция&#160; &#160;дифференцируема в точке&#160; &#160;и</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 16:25:06 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=18#p18 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=17#p17 <p>1)<br />Исправление ошибок:<br />0. Вычислить:<br />а).&#160; <br />б).&#160; </p> <p>Определение 22.1: (Условие Коши) Функция&#160; &#160;удовлетворяет в точке&#160; &#160;условию Коши, если:<br /> </p> <p>Теорема 1: (Критерий Коши) Для того, чтобы функция&#160; &#160;имела в точке&#160; &#160;конечное предельное значение, необходимо и достаточно, чтобы функция&#160; удовлетворяла в этой точке условию Коши.<br />Теорема 2: Непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.<br />Теорема 3: Непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего максимального и минимального значения. (Дать определение&#160; )<br />Теорема 4: Пусть&#160; &#160;непрерывна на&#160; &#160;, причём&#160; &#160;, тогда:<br /> </p> <p>Теорема 5: Пусть&#160; &#160;непрерывна на&#160; , тогда:<br /> </p> <p>Определение 22.2: Функция называется возрастающей (убывающей) в точке, если существует такая окрестность этой точки, в которой данная функция является возрастающей (убывающей).<br />Теорема 6: Если функция&#160; &#160;дифференцируема в точке&#160; &#160;и&#160; , то эта функция возрастает (убывает) в данной точке.<br />Определение 22.3: Непрерывная на множестве&#160; &#160;функция&#160; &#160;имеет в точке&#160; &#160;глобальный минимум (максимум), если:&#160; <br />Определение 22.4: Непрерывная на множестве&#160; &#160;функция&#160; &#160;имеет в точке&#160; &#160;локальный минимум (максимум), если:&#160; <br />Замечание: Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума данной функции.<br />Теорема 7: (Ферма, необходимое условие экстремума)<br />Если функция&#160; &#160;непрерывна и дифференцируема в некоторой e -окрестности точки&#160; &#160;и достигает в ней экстремального значения, то:&#160; .<br />Замечание: Точки, в которых производная функции равна нулю мы будем называть стационарными точками этой функции.<br />Теорема 8: (Ролля) Если функция&#160; &#160;непрерывна и дифференцируема на отрезке&#160; , причём&#160; &#160;, то:&#160; .<br />Теорема 9: (Лагранжа) Если функция&#160; &#160;непрерывна и дифференцируема на отрезке&#160; , то:&#160; . Дайте геометрическую интерпретацию этой теоремы.<br />Теорема 10: (Коши) Пусть функции&#160; ,&#160; &#160;непрерывны и дифференцируемы на&#160; , причём:&#160; , тогда:&#160; .<br />Теорема 11: Пусть&#160; &#160;непрерывна и дифференцируема на&#160; &#160;и&#160; , тогда:&#160; .<br />Теорема 12: (Правило Лопиталя)<br />a). Пусть функции&#160; &#160;и&#160; &#160;- определены и дифференцируемы в некоторой окрестности&#160; &#160;точки&#160; &#160;, за исключением, быть может, самой точки&#160; ,&#160; . Тогда:&#160; </p> <p>б). В условии теоремы:&#160; .</p> <p>в). В условии теоремы:&#160; .</p> <p>2)<br />Дифференциа&#769;л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.<br />Обычно дифференциал f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать&#160; &#160;шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал являетсяоператором. Дифференциал в точке x обозначается dxf, а иногда dfx или df[x]. (dxf есть линейная функция на касательном пространстве в точке x.) Если v есть касательный вектор в точке x, то значение дифференциала на v обычно обозначается df(v), в этом обозначении x излишне, но обозначения dxf(v), dfx(v) и df[x](v) также правомерны.<br />Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = &#916;x от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.<br />Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y:d(dy)=d2y.<br />Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому<br />d2y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx•dx = f ''(x)(dx)2.<br />Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2.<br />Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:<br />d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3.<br />Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y)<br />dny = f (n)(x)dxn</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 16:04:25 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=17#p17 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=16#p16 <p>1)<br />Последовательность — это набор элементов некоторого множества:<br />&#61607; для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;<br />&#61607; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;<br />&#61607; для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.<br />Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма<br />Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.<br />Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.<br />Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел&#160; , либо множество комплексных чисел&#160; . Тогда последовательность&#160; &#160;элементов множества Xназывается числовой последовательностью.<br />ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.<br />Например, для функции y = n2 можно записать:<br />y1 = 12 = 1;<br />y2 = 22 = 4;<br />y3 = 32 = 9;…yn = n2;…<br />Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный. <br />1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:<br />yn = f(n).<br />Пример. yn = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, … <br />2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. <br />Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….<br />Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.<br />3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.<br />Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….<br />Здесь y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….<br />Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: yn = 4n – 1.<br />Пример 2. y1 = 1; y2 = 1; yn = yn–2 + yn–1 , если n = 3, 4,….<br />Здесь: y1 = 1; y2 = 1; y3 = 1 + 1 = 2; y4 = 1 + 2 = 3; y5 = 2 + 3 = 5; y6 = 3 + 5 = 8;<br />Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .<br />На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.</p> <p>Свойства числовых последовательностей. Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей. <br />Определение. Последовательность называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:<br />y1 y2 y3 yn yn+1 Последовательность называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:<br />y1 &gt; y2 &gt; y3 &gt; … &gt; yn &gt; yn+1 &gt; … .<br />Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.<br />Пример 1. y1 = 1; yn = n2Пример 2. y1 = 1; – убывающая последовательность.<br />Пример 3. y1 = 1; src=&quot;image006.gif&quot; align=&quot;absmiddle&quot;&gt; – эта последовательность не является невозрастающей и неубывающей.<br />Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.<br />Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.</p> <p>Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.<br />Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями <br />a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …) <br />(a и d – заданные числа).<br />Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 1, d = 2.<br />Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 20, d = –3.<br />Нетрудно найти явное (формульное) выражение an через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.<br />an = a1 + d(n – 1).<br />Это формула n-го члена арифметической прогрессии.<br />Используя явное выражение an через n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то ai + aj= ak + al. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить. Отсюда следует, что если рассматривать первые n членов арифметической прогрессии, то суммы членов, равно отстоящих от концов, будут одинаковы:<br />a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = … = 2a1 + (n – 1)d.<br />Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии: <br />Sn = a1 + a2 + … + an–1 + an. <br />С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:<br />Sn = an + an–1 + … + a2 + a1.<br />Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате<br />2Sn = (a1 + an) + (a2 + an–1) + … + (an + a1) = n(2a1 + (n – 1)d),<br />откуда . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.<br />Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как <br />an = an–1 + d;<br />an = an+1 – d.<br />Сложение двух последних равенств дает .<br />Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.<br />Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?<br />Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению<br />5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.<br />Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.<br />2)<br />Рассмотрим функцию&#160; , определённую на некотором множестве&#160; , которое имеет предельную точку&#160; &#160;(которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).<br />[править]Предел функции по Гейне<br />Значение&#160; &#160;называется пределом (предельным значением) функции&#160; &#160;в точке&#160; , если для любой последовательности точек&#160; , сходящейся к&#160; , но не содержащей&#160; &#160;в качестве одного из своих элементов, последовательность значений функции&#160; &#160;сходится к&#160; .[1]</p> <p>[править]Предел функции по Коши<br />Значение&#160; &#160;называется пределом (предельным значением) функции&#160; &#160;в точке&#160; , если для любого наперёд взятого положительного числа&#160; &#160;найдётся отвечающее ему положительное число&#160; &#160;такое, что для всех аргументов&#160; , удовлетворяющих условию&#160; , выполняется неравенство&#160; .[1]</p> <p>[править]Окрестностное определение по Коши<br />Значение&#160; &#160;называется пределом (предельным значением) функции&#160; &#160;в точке&#160; , если для любой окрестности&#160; &#160;точки&#160; &#160;существует выколотая окрестность&#160; &#160;точки&#160; &#160;такая, что образ этой окрестности&#160; &#160;лежит в&#160; . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статьеПредел вдоль фильтра.</p> <p>[править]Предел по базе множеств<br />Наиболее общим определением является определение предела функции по базе.<br />Пусть&#160; &#160;— некоторая база подмножеств области определения. Тогда<br />&#61607; число A называется пределом функции по (при) базе&#160; , если для всякого&#160; &#160;найдётся такой элемент B базы, колебание функции на котором не будет превосходить величину&#160; :<br /> .<br />Если a — предельная точка множества E, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a. Эта база имеет специальное обозначение « » и читается «при x, стремящемся к a по множеству E». Если область определения функции f совпадает с&#160; , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто « » и читается «при x, стремящемся к a».<br />При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:<br />&#61607; , где&#160; ;<br />&#61607; , где&#160; .<br />Соответственно этому вводятся две базы:<br />&#61607; « », которая коротко обозначается в виде « » или ещё проще « »;<br />&#61607; « », которая коротко обозначается в виде « » или ещё проще « ».</p> <p>[править]Эквивалентность определений<br />Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 15:58:29 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=16#p16 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=15#p15 <p>1)<br />Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами различных множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).<br />Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x2, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.<br />Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции обладают рядом отличительных свойств и удобно представляются на рисунках в виде графиков.<br />Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.<br />Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.<br />При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.<br />Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.<br />Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.<br />Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.<br />Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.<br />Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.<br />Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.<br />Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.<br />Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.<br />Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.<br />Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.<br />Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.<br />Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.<br />Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q<br />Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.<br />Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:<br />&#61607; многочлен,<br />&#61607; рациональная,<br />&#61607; степенная,<br />&#61607; показательная и логарифмическая,<br />&#61607; тригонометрические и обратные тригонометрические.<br />Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функциинепрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.<br />Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.<br />2)<br />Экстре&#769;мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Вматематическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).<br />Теорема Ферма<br />a^n+b^n=c^n<br />Теорема Ролля<br />Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 15:50:11 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=15#p15 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=14#p14 <p>1)<br />Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:<br />1) два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными, если x1 = x2 и y1 = y2;<br />2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида<br />z = (x1 + x2, y1 + y2);<br />3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число<br />z = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1);<br />4) множество комплексных чисел&#160; &#160;, отождествляется с множеством действительных чисел R.<br />Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что z2 + z = z1, откуда находим z = z1 - z2 = (x1 - x2, y1 -y2).<br />Частным комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что&#160; . Отсюда находим<br />&#160; &#160;<br />Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда&#160; &#160;, т. е. i2 = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде<br />z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.<br />Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число&#160; &#160; называетсясопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.<br />п.4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.<br />&#160; &#160;Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е.&#160; &#160;и полярные&#160; , то они связаны соотношением (1):<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; .<br />По определению,&#160; &#160;и из (1) получаем:<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; .&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;(9)<br />Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем:&#160; . Или<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; (10)<br />Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется еготригонометрической формой.<br />Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:<br />&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160;,&#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; &#160; (11)<br />где&#160; .</p> <p>Формула Эйлера-<br />e^ix=cosx+isinx<br />Формулы Муавра<br />z=r(cos(фи)+isin(фи))<br />Формула Муавра для комплексных чисел&#160; , заданная в тригонометрической форме — формула<br />&#160; для любого&#160; <br />Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера&#160; &#160;и правила для экспонент&#160; , верного, если b — целое число. (Если b — не целое, то&#160; &#160;— многозначная функция переменной a и&#160; &#160;— одно из её значений.)<br />Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.<br />Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:<br /> <br /> </p> <p>Отметим, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса&#160; &#160;с центром в точке 0.<br />2)<br />Lim x&gt;беск (1+1/e)^x=e<br />Второй замечательный предел</p> <p>Доказательство второго замечательного предела:<br />Доказательство для натуральных значений x&#160; [показать]<br />&#160; &#160; Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что&#160; . Рассмотрим два случая:<br />1. Пусть&#160; . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:&#160; , где&#160; &#160;— это целая часть x.<br />Отсюда следует:&#160; , поэтому<br /> .<br />Если&#160; , то&#160; . Поэтому, согласно пределу&#160; , имеем:</p> <p> .<br />По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов&#160; .<br />2. Пусть&#160; . Сделаем подстановку &#8722; x = t, тогда</p> <p> .<br />Из двух этих случаев вытекает, что&#160; &#160;для вещественного x.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 15:37:52 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=14#p14 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=13#p13 <p>1)<br />В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольногочастично упорядоченного множества.<br />Множество вещественных чисел (х принедлежит R) называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:<br />Существует b при котором все х (х принадлежит Х таким образом х&lt;=b)<br />Множество вещественных чисел (х принедлежит R)&#160; называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше :b: <br />Существует b при котором все х (х принадлежит Х таким образом х=&gt;b)<br />Множество ограниченное сверху и снизу называется ограниченным.<br />( X – огр. св.) &#8660; ( &#8707; ( c &#8712; R+ ) &#8704; ( x &#8712; X )[ x &#8804; c ])<br />( X –огр.сн.) &#8660; ( &#8707;( c &#8712; R&#8722; )&#8704; ( x &#8712; X )[ x &#8805; c ])<br />Если множество ограничено сверху (снизу), то среди всех мажорант <br />(минорант) можно найти наименьшее (наибольшее) число.<br />Наименьшая из всех мажорант называется верхней границей (точной верх-&#160; <br />ней границей) числового множества, или супремумом множества X (sup X ) .&#160; &#160;<br />Наибольшая из всех минорант называется нижней границей (точной<br />нижней границей) числового множества, или инфимумом множества X<br />(inf X ).&#160; &#160; &#160;<br />Теорема. Всякое непустое числовое множество имеет точные<br />верхнюю и нижнюю границы.<br />Пусть &#949; &gt; 0 произвольное фиксированное число.<br />Окрестностью точки x0 на числовой прямой (иногда говорят&#160; -окрестностью) называется множество точек, удаленных от x0 не более чем на&#160; , т.е. <br />2)<br />Предел при х-&gt;0 sinx/x=1</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 15:26:48 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=13#p13 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=12#p12 <p>1)<br />Числовая прямая, числовая ось, - это прямая на которой изображаются действительные числа. На прямой выбирают начало отсчета – точку О (точка О изображает 0) и точку L, изображающую единицу. Точка L обычно стоит справа от точки О. Отрезок ОL называют единичным отрезком.</p> <p>Точки, стоящие справа от точки О изображают положительные числа. Точки стоящие слева от точки. О, изображают отрицательные числа. Если точка Х изображает положительное число х, то расстояние ОХ = х. Если точка Х изображает отрицательное число х, то расстояние ОХ = - х.</p> <p>Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой этой точки.&#160; &#160; </p> <p>Модулем действительного числа называется расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу.&#160; Обозначают модуль числа х, так: | х |. Очевидно, что | 0 | = 0.</p> <p>Если число х больше 0, то | х | = х, а если х меньше 0, то | х | = - х. На этих свойствах модуля, основано решение многих уравнений и неравенств с модулем.</p> <p>2)<br />Произво&#769;дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци&#769;рованием. Обратный процесс —интегрирование.<br />Правила диференц.<br />При дифференцировании константу можно выносить за производную: <br />(cf)’=cf’<br />Правило дифференцирования суммы функций: <br />(f+g)’=f’+g’<br />Правило дифференцирования разности функций: <br />(f-g)’=f’-g’<br />Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):<br />(fg)’=f’g+fg’<br />Правило дифференцирования частного функций: <br />(f/g)’=f’g-gfg’/g^2<br />Правило дифференцирования функции в степени другой функции: <br />(f^g)’=(e^glnf)’=f^g(f’(g/f)+g’lnf) f&gt;0</p> <p>Правило логарифма при дифференцировании функции: <br />f’=(lnf)’f f&gt;0</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 15:13:39 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=12#p12 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=11#p11 <p>1)<br />•Z&#160; &#160;&#8722; множество целых чисел;<br />•Q&#160; &#160;&#8722; множество рациональных чисел;<br />•I&#160; &#160;&#8722; множество иррациональных чисел;<br />•R&#160; &#160;&#8722; множество действительных чисел;<br />•C&#160; &#160;&#8722; множество комплексных чисел.<br />Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.<br />Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.<br />Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные.<br />Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.</p> <p>Множество действительных чисел обозначается - R<br />2)<br />Произво&#769;дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци&#769;рованием. Обратный процесс —интегрирование.<br />Физ смысл<br />Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.<br />Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).<br />Геом смысл<br />Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точкиx0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние &#916;x = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную(постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла &#945; наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.<br />Уравнение касательной<br />Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: <br />y/(x)=lim&#916;x&#8594;0&#916;y&#916;x</p> <p>&#916;y=f(x+&#916;x)&#8722;f(x).</p> <p>Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tg&#945;=k</p> <p>Т.к. x0 и f(x0)&#8712; прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y&#8722;f(x0)=f/(x0)(x&#8722;x0), или<br />y=f/(x0)•x+f(x0)&#8722;f/(x0)•x0.</p> <p>Уравнение нормали<br />Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:<br />tg&#946;=tg(2&#960;&#8722;&#945;)=ctg&#945;=1tg&#945;=1f/(x0)</p> <p>Т.к. угол наклона нормали -- это угол &#946;1, то имеем:<br />tg&#946;1=tg(&#960;&#8722;&#946;)=&#8722;tg&#946;=&#8722;1f/(x).</p> <p>Точка (x0,f(x0))&#8712; нормали, уравнение примет вид:<br />y&#8722;f(x0)=&#8722;1f/(x0)(x&#8722;x0).</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 14:58:23 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=11#p11 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=10#p10 <p>1) Понятие множества &#8722; одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества &#8722; это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств &#8722; аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,<br />•Z &#160; &#8722; множество целых чисел;<br />•Q &#160; &#8722; множество рациональных чисел;<br />•I &#160; &#8722; множество иррациональных чисел;<br />•R &#160; &#8722; множество действительных чисел;<br />•C &#160; &#8722; множество комплексных чисел.<br />Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: a&#160; &#160;A.<br />Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.<br />множество можно задать<br />- перечислением элементов (для бесконечных множеств такой способ не подходит)<br />- заданием формулы, которая &quot;генерирует&quot; элементы<br />- указанием характеристического признака, который указывает, свойство и какие объекты&#160; будут объединены в это множество...<br />Отношение &quot;&#9675;&quot; рефлексивно, если для любого элемента a из множества A выполнено a&#9675;a (т.е. любой элемент связан отношением &#9675; с самим собой).<br />Например: отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, так как любой отрезок равен сам себе.<br />Отношение &#9675; симметрично, если из a&#9675;b следует b&#9675;a для любых элементов a и b множества A. Отношение равенства на множестве отрезков является симметричным, так как если [AB] = [CD], то и [CD] = [AB].<br />Отношение &#9675; называется транзитивным, если из того, что a&#9675;b и b&#9675;c следует, что a&#9675;c. В частности, отношение равенства отрезков рефлексивно, так как если отрезок AB равен отрезку CD, а отрезок CD равен отрезку MN, то отрезок AB равен отрезку MN.<br />Пересечением множеств A и B называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам A и B (общие элементы множеств A и B). Обозначение: A B, где символ&#160; &#160;– знак пересечения двух множеств. Два множества пересекаются, если A B &#8800;&#160; , и не пересекаются, если A B =&#160; .<br />Например: если две прямые a и b не пересекаются, то можно записать a b =&#160; , если же они пересекаются, то по определению их пересечением является общая точка A (a b = A). Пересечением луча a с дополняющим его лучом a' является их общее начало O (a a' = O).<br />Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение:A B, где символ&#160; &#160;– знак объединения множеств.<br />Например: объединением луча a с дополняющим его лучом a' является прямая.<br />Разностью двух множеств A и B называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат A и не принадлежат B. Обозначение: A \ B. Если B – подмножество A, то A \ B называют дополнением к B и обозначают B'.<br />Например: разностью прямой a и ее луча с началом O является множество точек дополняющего луча a' без начальной точки O.<br />Введенные операции обладают рядом свойств.<br />Отношение &#9675; во множестве A называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.<br />Всякое отношение эквивалентности&#160; &#160;во множестве A позволяет специальным образом различать элементы этого множества. Обозначим через C (a) множество всех элементов x из A, таких, что&#160; &#160;Это множество является подмножеством A, которое называется классом эквивалентности a. Если&#160; &#160;то в силу симметричности и транзитивности отношения&#160; &#160;любой элемент x, эквивалентный a, эквивалентен и b. Если же b не эквивалентен a, то C (a) и C (b) не имеют общих элементов, потому что если&#160; &#160;и&#160; , то в силу симметричности&#160; &#160;и&#160; , и в силу транзитивности&#160; &#160;что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, при котором каждый элемент A попадает в свой класс.<br />Как мы видели в приведенных выше примерах, равенство на множестве отрезков является отношением эквивалентности и задает его разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс содержит отрезки заданной длины.<br />2) Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x &#8594; a, если выполнено хотя бы одно из условий Предел Х-&gt;а-0 и от а+0 = бесконечность</p> <p>Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x &#8594; +&#8734;, если&#160; <br />предел при х стремящемся к бесконечность от ф от х = б<br />Прямая y = kx + b, k &#8800; 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x &#8594; +&#8734;, если&#160; &#160;Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x &#8594; –&#8734;.</p> mybb@mybb.ru (МАТАН!) Fri, 07 Jan 2011 14:45:42 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=10#p10 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=7#p7 <p>Различные смешные или просто интересные картинки. Находим, делимся, веселимся.</p> <p><img class="postimg" loading="lazy" src="https://i1.my.nur.kz/f_6260_1_149408433_7.jpg" alt="http://i1.my.nur.kz/f_6260_1_149408433_7.jpg" /></p> <p><img class="postimg" loading="lazy" src="https://s61.radikal.ru/i171/1003/bc/317654b3b05e.jpg" alt="http://s61.radikal.ru/i171/1003/bc/317654b3b05e.jpg" /></p> mybb@mybb.ru (Gnom) Wed, 17 Mar 2010 14:26:28 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=7#p7 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=5#p5 <p>Ну чтож, продолжу=)<br />Эпопея &quot;Каким я был, таким я и остался!&quot;.</p> mybb@mybb.ru (Volund) Fri, 12 Mar 2010 22:45:53 +0300 https://necromongers.userforum.ru/viewtopic.php?pid=5#p5