1)
Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:
1) два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными, если x1 = x2 и y1 = y2;
2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида
z = (x1 + x2, y1 + y2);
3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число
z = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1);
4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.
Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что z2 + z = z1, откуда находим z = z1 - z2 = (x1 - x2, y1 -y2).
Частным комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим
Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i2 = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.
Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называетсясопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.
п.4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е. и полярные , то они связаны соотношением (1):
.
По определению, и из (1) получаем:
. (9)
Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем: . Или
(10)
Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется еготригонометрической формой.
Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:
, (11)
где .
Формула Эйлера-
e^ix=cosx+isinx
Формулы Муавра
z=r(cos(фи)+isin(фи))
Формула Муавра для комплексных чисел , заданная в тригонометрической форме — формула
для любого
Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и правила для экспонент , верного, если b — целое число. (Если b — не целое, то — многозначная функция переменной a и — одно из её значений.)
Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
Отметим, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке 0.
2)
Lim x>беск (1+1/e)^x=e
Второй замечательный предел
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x [показать]
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.