1)
Исправление ошибок:
0. Вычислить:
а). 
б). 

Определение 22.1: (Условие Коши) Функция   удовлетворяет в точке   условию Коши, если:

Теорема 1: (Критерий Коши) Для того, чтобы функция   имела в точке   конечное предельное значение, необходимо и достаточно, чтобы функция  удовлетворяла в этой точке условию Коши.
Теорема 2: Непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.
Теорема 3: Непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего максимального и минимального значения. (Дать определение  )
Теорема 4: Пусть   непрерывна на   , причём   , тогда:

Теорема 5: Пусть   непрерывна на  , тогда:

Определение 22.2: Функция называется возрастающей (убывающей) в точке, если существует такая окрестность этой точки, в которой данная функция является возрастающей (убывающей).
Теорема 6: Если функция   дифференцируема в точке   и  , то эта функция возрастает (убывает) в данной точке.
Определение 22.3: Непрерывная на множестве   функция   имеет в точке   глобальный минимум (максимум), если: 
Определение 22.4: Непрерывная на множестве   функция   имеет в точке   локальный минимум (максимум), если: 
Замечание: Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума данной функции.
Теорема 7: (Ферма, необходимое условие экстремума)
Если функция   непрерывна и дифференцируема в некоторой e -окрестности точки   и достигает в ней экстремального значения, то:  .
Замечание: Точки, в которых производная функции равна нулю мы будем называть стационарными точками этой функции.
Теорема 8: (Ролля) Если функция   непрерывна и дифференцируема на отрезке  , причём   , то:  .
Теорема 9: (Лагранжа) Если функция   непрерывна и дифференцируема на отрезке  , то:  . Дайте геометрическую интерпретацию этой теоремы.
Теорема 10: (Коши) Пусть функции  ,   непрерывны и дифференцируемы на  , причём:  , тогда:  .
Теорема 11: Пусть   непрерывна и дифференцируема на   и  , тогда:  .
Теорема 12: (Правило Лопиталя)
a). Пусть функции   и   - определены и дифференцируемы в некоторой окрестности   точки   , за исключением, быть может, самой точки  ,  . Тогда: 

б). В условии теоремы:  .

в). В условии теоремы:  .

2)
Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.
Обычно дифференциал f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать   шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал являетсяоператором. Дифференциал в точке x обозначается dxf, а иногда dfx или df[x]. (dxf есть линейная функция на касательном пространстве в точке x.) Если v есть касательный вектор в точке x, то значение дифференциала на v обычно обозначается df(v), в этом обозначении x излишне, но обозначения dxf(v), dfx(v) и df[x](v) также правомерны.
Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y:d(dy)=d2y.
Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому
d2y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx•dx = f ''(x)(dx)2.
Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2.
Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3.
Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y)
dny = f (n)(x)dxn