1)
Структура сходящихся последовательностей
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.
Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если
существует такое число а, что последовательность {xn-а} является
бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности
{xn}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности:
Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число
а, что для любого положительного числа ( можно указать номер N такой, что
при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<(.
При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности
{xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn
сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+(n, xn=b+(n, где (n и (n –
элементы бесконечно малых последовательностей {(n} и {(n}.
Вычитая данные соотношения, найдем (n-(n=b-a. Так как все элементы
бесконечно малой последовательности {(n-(n} имеют одно и то же постоянное
значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой
последовательности {(n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е.
b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее
предел. Представим ее в следующем виде:
xn=а+(n,
где (n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно
малая последовательность {(n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая
последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех
номеров n справедливо неравенство |(n|(А. Поэтому | xn | ( |a| + A для всех
номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема
доказана.
Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например,
последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является
сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к
некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a}
являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-
a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к.
|xn– xn+1| = 2 для любого номера n.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов
последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:
xn=а+(n, yn=b+(n,
где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn +
yn) - (а + b) =(n+(n.
Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно
малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим
пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов
последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:
xn=а+(n, yn=b+(n,
где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn -
yn) - (а - b) =(n-(n.
Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно
малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим
пределом число а-b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов
последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+(n, yn=b+(n и
xn(yn=a(b+a((n+b((n+(n((n. Следовательно,
xn(yn-а(b=a((n+b((n+(n((n.
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность
{a((n+b((n+(n((n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn(yn-
а(b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn(yn} сходится и
имеет своим пределом число а(b. Теорема доказана.
ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля
предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность
[pic], которая является ограниченной.
Доказательство: Пусть [pic]. Так как b(0, то (>0. Пусть N – номер,
соответствующий этому (, начиная с которого выполняется неравенство:
|yn-b|<( или |yn-b|<[pic]
из этого неравенства следует, что при n(N выполняется неравенство
|yn|>[pic]. Поэтому при n(N имеем [pic]. Следовательно, начиная с этого
номера N, мы можем рассматривать последовательность [pic], и эта
последовательность ограничена. Лемма доказана.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при
условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен частному пределов
последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с
некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и
последовательность [pic] ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем
рассматривать последовательность [pic]. Пусть а и b – пределы
последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность [pic]
бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+(n, yn=b+(n, то
[pic][pic].
Так как последовательность [pic] ограничена, а последовательность [pic]
бесконечно мала, то последовательность [pic] бесконечно малая. Теорема
доказана.
Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися
последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их
пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn(b (xn(b), то и предел а
этой последовательности удовлетворяет неравенству а(b (a(b).
Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn(b. Предположим, что а<xn-ab, однако при этом предел а может оказаться равным
b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако [pic].
Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей
{xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn (
уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству
[pic].
Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому
неотрицателен и ее предел [pic]. Отсюда следует, что
[pic].
Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn}
находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом
сегменте.
Это выполняется, так как а(xn(b, то a(c(b.
ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие
общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы
последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xn(yn(zn. Тогда
последовательность {yn} сходится и имеет предел а.
Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно
малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются
неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера,
будут выполнятся также неравенства xn-а ( yn-а ( zn-а. Отсюда следует, что
при n(N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству
|yn-a| ( max {|xn-a|, |zn-a|}.
Так как [pic] и [pic], то для любого (>0 можно указать номера N1 и N2
такие, что при n(N1 |xn-a|<(, а при n(N2 |zn-a|<(. Итак
последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы
сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие
неравенства для пределов этих последовательностей.
2)
Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, имеющая дифференциал. Дифференцируемая функция может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.
Задать функцию в пространстве (Y) означает задать закон, по которому каждой точке из рассматриваемой области G пространства (Y) ставится в соответствие точка из пространства (Y).
Функция
=f( ),
где
Следовательно, задание функции равносильно заданию от четырех действительных переменных:
Определение предела и непрерывности функций полностью совпадает с теми, которые даются в плоском случае [7].
Естественно пространственную комплексную функцию рассматривать как функцию от двух комплексных переменных (z). Так что, если
то функцию целесообразно записать в виде
где соответственно будут выполняться соотношения:
В комплексном пространстве предел функции f( ) при существует, если
и, следовательно,
Остается в силе главное условие комплексного анализа (z) о независимости предела от способа приближения точки . Если предел существует, то при любом способе приближения функция f( ) будет приближаться к f( 0). Если функция определена и в точке 0, то она называется непрерывной в точке 0.
На все эти определения не оказывает влияние особенность комплексного пространства, обусловленная наличием конуса-фильтра дискретных точек делителей нуля.
Функция f( ), определенная в некоторой точке окрестности точки , дифференцируема в этой точке, если существует предел
(1.21.)
Этот предел является производной функции, определенной в пространстве ( ).
Условия дифференцируемости функции f( ) в терминах комплексных функций W и T будут давать:
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция f( )=W(z, )+jT(z, ) определена в точке и некоторой окрестности ее, причем в этой точке функции Т, W дифференцируемы в смысле комплексного переменного (z) и их частные производные непрерывны
тогда для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место равенства:
(1.22.)
Эти условия являются аналогом условий Коши - Римана.
Проведем доказательство условий (1.22.). Пусть существует производная
Воспользуемся независимостью предела от способа стремления h к нулю.
А. Пусть точка +h стремится к точке по комплексной оси z=z+iy. Тогда получим
Б. Найдем тот же предел в предложении, что точка +h стремится к по комплексной оси j , то есть что t 0 и h=j, где i= +i . Получим
Таким образом, имеем выражение для производной в двух видах
Комплексы в пространстве равны когда равны попарно составляющие их комплексы. Откуда и вытекают соотношения (1.22.).
Теорема может быть написана и в действительных переменных x, y, , . Однако этот вариант наиболее прост в изложении и более интересен вариант, когда комплексы представимы в цилиндрических трехмерных а). и четырехмерных координатах. Напомним эти выражения:
а)
б)
Произведем вывод необходимых условий в координатах а).
Функция f( ) записывается в виде
Приращение переменной, при переходе к точке +h выразим как дифференциал вектора
Раскроем предел (1.21.) для трех специальных случаев стремления h 0:
Первый случай соответствует пути по радиусу при постоянном угле к постоянной аппликате по оси i ; второй - пути по образующей цилиндрической оси i ; третий - пространственной кривой, на которой изменяется только угол .
Для первого случая =const, r = const, имеем
(1.23.)
Для второго случая, =const, =const, имеем
(1.24.)
Для третьего случая, = const, r = const, имеем
(1.25.)
Выражения (1.23.), (1.24.), (1.25.) дают значения производной от пространственной комплексной функции f( ) в цилиндрических координатах и необходимые условия ее существования
(1.26.)
Приравнивая действительные и комплексные части, получим необходимые условия дифференцирования функции:
(1.27.)
Если функция f определена в четырехмерном пространстве, то необходимые условия ее дифференцирования записываются в виде:
(1.28.)
Производная
(1.29.)
Методика вывода выражений (1.28.), (1.29.) аналогична предыдущей.
Условия (1.22.), (1.27.), (1.28.) являются необходимыми условиями существования производной от функции, определенной в комплексном пространстве. Достаточные условиядоказываются как и в обычной (z) плоскости (как в двумерном случае).
Замечание. Предел, определяющий наличие производной, необходимо оценить в критических особых точках пространства - в элементах делителей нуля.
Если точка +h стремится к точке по изолированному направлению
то
(1.30.)
Из выражения (1.30.) видно, что для стремления точки +h к точке h по изолированному направлению предел не может существовать, так как его составление теряет смысл, как и в двумерном случае при попытке составить предел, взяв сразу z=0. Это - результат свойств делителей нуля, модуль которых равен корню из нуля
В обычной комплексной плоскости (z) при рассмотрении предела естественно выбрасывается z=0. В пространстве вычет приращения h=0 влечет за собой и вычет элементов делителей нуля
Однако в пространстве (Y) более правильным будет производная по изолированному направлению.
Каждая точка комплексного пространства является исходной точкой изолированного направления . Геометрически это означает, что к точке прибавляется точка, не имеющая суммарного радиуса. Если выражение записать в виде , то получаем перенос изолированного направления в точку . Для изолированного направления переменная z является модулем этого направления, остается в силе предельный переход
, .
Для определения производной от функции в изолированном направлении, приращение переменной необходимо рассматривать как единый символ . Приращение функции выразится в виде , так что производная выразится как предел
, или .
Последнее соотношение означает, что для любого существует такое, что неравенство имеет место, если
В этом случае , где есть величина более высокого порядка малости, чем . Справедливо и обратное утверждение
, где A- есть комплексная постоянная, не зависящая от . В этом случае функция дифференцируема в точке и