1)
В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.
Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.
Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространство можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.
Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.
Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.
Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство.

Пусть последовательность xn одновремменно имеет два предела, A и B, неравных между собой. Тогда по определению предела, для любого ε>0, а в том числе и для верно, что начиная с некоторого n1 вся последовательность xn лежит в ε-окресности A и начиная с некоторого n2 вся последовательность xn лежит в ε-окресности B. Тогда пуская nε = max(n1, n2), а тогда начиная с этого nε последовательнось обязана лежать в ε-окресности двух этих точек одновремменно, что не возможно, так как ε-окресности точек A и B не пересекаются.

Значит, такое невозможно, и последовательность может иметь не более одного предела.

Для функций доказывается так же.
2)
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node59.html
Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при  .
1. Рассмотрим функцию  . Все её производные совпадают с ней:  , так что коэффициенты Тейлора в точке   равны

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

2. Рассмотрим функцию  . Её производные чередуются в таком порядке:

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке   также возникает повторение:

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами   равны 1 при  , то есть при  , и   при  , то есть при  . Таким образом,   при всех   и коэффициенты Тейлора равны

Получаем формулу Тейлора для синуса:

Заметим, что мы можем записать остаточный член   вместо  (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка  , с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.
3. Для функции   производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке   имеют то же чередование:

   

   

Нетрудно видеть, что   при  ,   и   при  ,  . Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее   с нулевым коэффициентом.