1)
В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.
Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.
Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространство можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.
Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.
Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.
    Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.
Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

    Определение:       Последовательность {xn} называется сходящейся,  если
существует  такое  число  а,   что   последовательность    {xn-а}   является
бесконечно малой. При этом число а  называется  пределом  последовательности
{xn}.

    В  соответствии   с   этим   определением   всякая   бесконечно   малая
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

    Можно, также, дать еще одно определение сходящейся  последовательности:
Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует  такое  число
а, что для любого положительного числа ( можно указать номер  N  такой,  что
при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
           |xn-a|<(.

При этом число а называется пределом последовательности.

2)
Производные высших порядков
  Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:
y' =f ' (x)
.
  Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функцииf(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

Пример.   

  Очень удобно пользоваться также обозначением
  ,
указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
  Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x)третьего порядка и обозначается символами
.
  Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай n-кратного дифференцирования.
Пусть функции f(z) и g(z) — n раз дифференцируемые функции, тогда
  где   — биномиальные коэффициенты.