1)
Сходящиеся последовательности и их свойства.
Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn−a}является бесконечно малой.
Если последовательность {xn→a} является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так:limn→∞xn=a или xn→a при n→∞
Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всехn>Nэлементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣xn−a∣<ε
При этом число a называется пределом последовательности.
Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме −ε<xn−a<+ε или, a−ε<xn<a+ε. (5')
Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число a, что в любой ε-окрестности точки aнаходятся все элементы последовательности {xn} начиная с некоторого номера (зависящего от ε).
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности {xn}. xn=a+an и xn=b+bn, где {an} и {bn} - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим an−bn=b−a. Последовательность {an−bn} является бесконечно малой, а в силу равенства an−bn=b−a все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числуb−a. Число b−a равно нулю, т. е. b=a. Теорема доказана.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Доказательство. Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣xn−a∣<ε при n≥N или, a−ε<xn<a+εпри n≥N. Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣ ∣ x1∣ ∣ ,∣ ∣ x2∣ ∣ ,...,∣ ∣ хN−1∣ ∣ . Тогда, очевидно, ∣xn∣≤A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.
Следствие 1. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, посл. 0,1,0,1,...,0,1, ... является
ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим n-й член этой последовательности символом xn и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу a. Но тогда каждая из последовательностей {xn+1−a} и {xn−a} являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей {xn+1−xn} а этого быть не может в силу того, что ∣ ∣ xn+1−xn∣ ∣ =1 для всех номеров n.
Последовательность {an} называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>Nэлемент an последовательности удовлетворяет неравенству ∣an∣<ε.
Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу того что xn=a+an будут справедливы соотношения
xn=a+an,yn=b+bn, (6),
в которых anи bn представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей {an}и {bn}. Из (6) вытекает, что(xn+yn)−(a−b)=an+bn. (7)
Т.к. сумма {an+bn} двух бесконечно малых последовательностей {an} и {bn} представляет собой бесконечно малую последовательность, то из соотношения (7) вытекает в силу определения, что последовательность {xn+yn} сходится и вещественное число a+b является ее пределом. Теорема доказана.
Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn}
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3, только вместо соотношения (7) мы получим соотношение (xn−yn)−(a−b)=an−bn.
Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn}сходятся к пределам a и bсоответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим
xn•yn=a•b+abn+ban+an•bn или, xnyn−a•b=abn+ban+an•bn (8)
Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn} последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.
Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам a и bсоответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n>N элементы yn нe обращаются в нуль, определена последовательность {1yn} и эта последовательность является ограниченной. Начиная с номера N, мы и будем
рассматривать частное {ynxn} . В силу определения достаточно доказать, что последовательность {ynxn−ba} является бесконечно малой. Будем исходить из тождества ynxn−ba=yn•bxn•b−yn•a (9)
Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то
n•b−yn•a=(a+an)•bn−(b+bn)•an=anb−bna
Подставляя (10) в (9), получим ynxn−ba=1yn(an−babn) (11)
Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность {1yn} (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность {an−babn} (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.
2)
Дадим теперь определение точек разрыва функции.
Определение 3.2 Точка называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) не существует предела слева ;
2) не существует предела справа ;
3) пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу: ;
4) пределы слева и справа существуют и равны друг другу: , но не совпадают со значением функции в точке : , или функция не определена в точке .
Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки называется разрывом первого рода в точке ; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.
Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке .
Итак, если функция имеет разрыв первого рода в точке , то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": и , но точка не является точкой непрерывности.
Рис.3.2. -- точка разрыва первого рода
Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , положив , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.
Рис.3.3. -- точка устранимого разрыва
Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.
Рис.3.4. -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты