1) Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,
•Z − множество целых чисел;
•Q − множество рациональных чисел;
•I − множество иррациональных чисел;
•R − множество действительных чисел;
•C − множество комплексных чисел.
Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: a A.
Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.
множество можно задать
- перечислением элементов (для бесконечных множеств такой способ не подходит)
- заданием формулы, которая "генерирует" элементы
- указанием характеристического признака, который указывает, свойство и какие объекты будут объединены в это множество...
Отношение "○" рефлексивно, если для любого элемента a из множества A выполнено a○a (т.е. любой элемент связан отношением ○ с самим собой).
Например: отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, так как любой отрезок равен сам себе.
Отношение ○ симметрично, если из a○b следует b○a для любых элементов a и b множества A. Отношение равенства на множестве отрезков является симметричным, так как если [AB] = [CD], то и [CD] = [AB].
Отношение ○ называется транзитивным, если из того, что a○b и b○c следует, что a○c. В частности, отношение равенства отрезков рефлексивно, так как если отрезок AB равен отрезку CD, а отрезок CD равен отрезку MN, то отрезок AB равен отрезку MN.
Пересечением множеств A и B называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам A и B (общие элементы множеств A и B). Обозначение: A B, где символ – знак пересечения двух множеств. Два множества пересекаются, если A B ≠ , и не пересекаются, если A B = .
Например: если две прямые a и b не пересекаются, то можно записать a b = , если же они пересекаются, то по определению их пересечением является общая точка A (a b = A). Пересечением луча a с дополняющим его лучом a' является их общее начало O (a a' = O).
Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение:A B, где символ – знак объединения множеств.
Например: объединением луча a с дополняющим его лучом a' является прямая.
Разностью двух множеств A и B называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат A и не принадлежат B. Обозначение: A \ B. Если B – подмножество A, то A \ B называют дополнением к B и обозначают B'.
Например: разностью прямой a и ее луча с началом O является множество точек дополняющего луча a' без начальной точки O.
Введенные операции обладают рядом свойств.
Отношение ○ во множестве A называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Всякое отношение эквивалентности во множестве A позволяет специальным образом различать элементы этого множества. Обозначим через C (a) множество всех элементов x из A, таких, что Это множество является подмножеством A, которое называется классом эквивалентности a. Если то в силу симметричности и транзитивности отношения любой элемент x, эквивалентный a, эквивалентен и b. Если же b не эквивалентен a, то C (a) и C (b) не имеют общих элементов, потому что если и , то в силу симметричности и , и в силу транзитивности что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, при котором каждый элемент A попадает в свой класс.
Как мы видели в приведенных выше примерах, равенство на множестве отрезков является отношением эквивалентности и задает его разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс содержит отрезки заданной длины.
2) Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий Предел Х->а-0 и от а+0 = бесконечность
Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если
предел при х стремящемся к бесконечность от ф от х = б
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.
Отредактировано МАТАН! (2011-01-07 14:46:34)